三角形知识点复习总结

三角形知识点复习总结1/721DCBADCBADCBA三角形复习⒈三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义．⒉三角形的分类：(1)按边分类：(2)按角分类：⒊三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：1.AD是△ABC的BC上的中线.2.BD=DC=12BC.注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC.注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法：1.AD是△ABC的BC上的高线.2.AD⊥BC于D.三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形_C_B_A三角形知识点复习总结2/73.∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．⒋三角形的主要线段的表示法：三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AD是ABC的角平分线；②AD平分BAC，交BC于D；③如果AD是ABC的角平分线，那么BAD=DAC=21BAC.(2)三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AE是ABC的中线；②AE是ABC中BC边上的中线；③如果AE是ABC的中线，那么BE=EC=21BC.(3)三角线的高的表示法：如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：①AM是ABC的高；②AM是ABC中BC边上的高；③如果AM是ABC中BC边上高，那么AMBC，垂足是E；④如果AM是ABC中BC边上的高，那么AMB=AMC=90.⒌在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.⒍三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．图5图6图7ABCDE图1图2三角形知识点复习总结3/721BACMD⒎三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。推理过程：一、作CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=1800，即∠A+∠B+∠ACB=1800．二、作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=1800，即∠BAC+∠B+∠C=1800．注意：（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．三角形的外角的定义三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；（2）作CM∥AB由于B、C、D共线∴∠A=∠1，∠B=∠2.即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.那么∠ACD∠A.∠ACD∠B.8．三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.适当添加辅助线，寻找基本图形(1)基本图形一，如图8，在ABC中，AB=AC，B,A,D成一条直线，则DAC=2B=2C或B=C=21DAC.(2)基本图形二，如图9，如果CO是AOB的角平分线，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么DOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.基本图形三，如图10，如果BD是ABC的角平分线，M是AB上一点，MNBD，且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即BMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分线+垂线→等腰三角形.当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12.图9BACED三角形知识点复习总结4/7例1．如图15，已知AD是△ABC的高，AE是角平分线，AF是中线，写出图中相等的角和相等的线段。例2.如图（1），∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______；如图（2），∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______．例3．已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b-2）2+│c-3│=0，且a为方程│x-4│=2的解，求△ABC的周长，判断△ABC的形状例4.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC(∠C∠B),试说明∠EAD=12(∠C-∠B).三．练习1.已知三角形的一个内角是另一个内角的,是第三个内角的,则这个三角形各内角的度数分别为()A.60°,90°,75°B.48°,72°,60°C.48°,32°,38°D.40°,50°,90°2．如图12，∠ABC90°，AD⊥BC，交BC的延长线于D，BE⊥AC，交AC的延长线于E，CF⊥AB于点F，△ABC中BC边上的高为（A．FCB．BEC．ADD．AE3.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,则∠BDC的度数为________.4．已知：P为△ABC内任意一点．求证：PA＋PB＋PC＞21(AB＋BC＋CA)．5．（探索发现）如图所示,将△ABC沿EF折叠,使点C落到点C′处,试探求∠1,∠2与∠C的关系.6.(2001·天津)如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=158°,则∠EDF=________度.四、课后作业1.如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是()A.6L15B.6L16C.11L13D.10L162．若三角形三边a,b,c满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0.则此三角形为().A.不等边三角形B.一般等腰三角形C.等边三角形D.B、C都有可能3．十边形的内角和为度，正八边形的每个内角为度.4．已知一个多边形的内角和为1080°，则它的边数为.5.在△ABC中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.6．如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P的度数.图11三角形知识点复习总结5/7一、认识三角形1．（2010浙江义乌）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1、2、3.5B．4、5、9C．20、15、8D．5、15、82．（2010年山西）现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.已知一个三角形的三条边长为2，x，7，则x的取值范围是。4．在△ABC中，AB＝6，AC＝10，那么BC边的取值范围是________，周长的取值范围是___________．5．在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（）．（A）4cm（B）5cm（C）9cm（D）13cm7．两根木棒的长分别是5cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（）Ａ．3种Ｂ．4种Ｃ．5种Ｄ．6中8．已知ABC△的三边长abc，，，化简abcbac的结果是（）Ａ．2aＢ．2bＣ．22abＤ．22bc9．一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数．则这个三角形的周长为()A．10B．12C．14D.1610．五条线段的长分别为1，2，3，4，5，以其中任意三条线段为边长可以________个三角形．11.有木条五根，分别为12cm，10cm，8cm，6cm，4cm任取三根能组成三角形的概率是（）A.107B.53C.97D.3212．（2010山东济宁）若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形13．一个等腰三角形两边的长分别是15cm和7cm则它的周长是__________．14．下面说法错误的是()A．三角形的三条角平分线交于一点B．三角形的三条中线交于一点C．三角形的三条高交于一点D．三角形的三条高所在的直线交于一点15．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是()A．中线B．角平分线C．高线D．三角形的角平分线1166．．如如果果一一个个三三角角形形的的三三条条高高的的交交点点恰恰是是三三角角形形的的一一个个顶顶点点，，那那么么这这个个三三角角形形是是（（））AA..锐锐角角三三角角形形BB..直直角角三三角角形形CC..钝钝角角三三角角形形DD..锐锐角角三三角角形形17．在下图中，正确画出AC边上高的是（）．EBACCABCABCABEEE（A）（B）（C）（D）18．（2010云南昆明）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A=80°，∠ACB=60°，那么∠BDC=（）A．80°B．90°C．100°D．110°三角形知识点复习总结6/719.如图，在△ABC中，高线BD，CE相交于点H，若∠A=60°，则∠BHC的度数是（）A.60°B.90°C.120°D.150°20．如图5—15，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D，则∠BDC＝_____．21．已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数．22．如图5—21，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．23．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，③∠A=900－∠B，④∠A=∠B=12∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A、1个B、2个C、3个D、4个24.适合条件∠A=∠B=31∠C的三角形一定是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D任意三角形25．（2010河南）将一副