函数误差与误差合成

（1）随机误差具有抵偿性，这是它最本质的特征，算术均值和标准差是表示测量结果的两个主要统计量；系统误差不具备抵偿性，会影响算术均值，非恒定的系统误差还影响标准差；粗大误差存在于个别可疑数据中，会严重影响算术均值和标准差。（2）随机误差服从统计规律，无法消除但适当增加次数可减小之；系统误差服从确定性规律，要采取适当的措施消除或减小它；粗大误差既违背统计规律又违背确定性规律，可用物理或统计的方法判断后剔除。(３)在测量过程中，要注意从实际出发，去区分误差的性质，不同的误差有不同的处理方法。两类误差性质与特征小结比较项目内容系统误差随机误差不同点定义误差源本质特性抵偿性表示方法数字特征无限多次测量的平均值与真值之差测得值与无限多次测量的平均值之差多与单个因素有关多由大量均匀小的因素共同影响造成确定性统计规律无有确定性函数统计概率分布恒定系统误差用算术平均值对真值的偏离来表示非恒定系统误差用多参数表示用置信限代表结果的可能取值范围用实验标准差代表分散性用算术平均值代表期望值比较项目内容系统误差随机误差不同点发现方法减小方法残差观察法恒定系统误差统计检验改进测量方法引入修正值消除误差源n1重复测量n次取平均值其标准差减小为原用标准器具计量检定可变系统误差和检验法小样本序差法异同点比较项目内容系统误差随机误差相同点有界性表示方法都是误差，它们都始终存在于一切科学实验中都只能减弱到一定程度(往往与科学水平有关)，而无法彻底消除都有确定的界限可以分别用绝对误差、相对误差等来表示客观性减弱程度【例】用立式光学比长仪检定某量块。测量该量块偏离标称值10mm的9次偏差数据依次为+0.5,+0.7,+0.4,+0.5,+0.3,+0.6,+0.5,+0.6,+0.4。另外，用基准量块检定该仪器有+0.1的基本误差。试分析估算用立式光学比长仪检定该量块的测量误差，并写出修正的测量结果。【解】μm用基准量块检定该仪器含有+0.1的基本误差，故用该仪器检定量块的修正值为-0.0001。计算123456789290.50.70.40.50.30.60.50.60.41010.0005mm90,0.2,0.1,0,0.2,0.1,0,0.1,0.11()0.1291ixsxxμmμmμmμmmm残差和统计法100.20.100.120.100.10.10.11290.10.10290.72s故可判断无显著的线性系统误差。小样本序差统计法822222222211921()0.20.30.10.20.30.10.10.20.330.121.42iiiBBAA(0.95,9)0.512ppn查表p有故认为不存在显著的周期性系统误差。计算结果用9次测量数据统计检定中随机误差的大小，有90.049xssμm()10.0005(0.0001)10.0004mmxx修正后检定量块的结果为计算结论直接测量结果的数据处理步骤1、计算算术平均值2、计算残余误差3、计算单次测量的标准差4、判断系统误差恒定系统误差：用标准器具检定可变系统误差：残差观察法、和检验法、小样本序差法（组内）5、判别粗大误差3σ准测(n50)、Grubbs准测(3n50)、Dixon准则(3n30)6、计算粗大误差剔除后的算术平均值和单次测量的标准差7、计算算术平均值的标准差8、计算算术平均值的极限误差（区间半宽度）9、写出最后测量结果()/xtsn11niixxniivxx211()1niisxxxn()()sxsxn直接测量结果的数据处理实例对某一轴径等权测量10次（mm），求测量结果124.774224.778324.771424.780524.772624.777724.773824.775924.7741024.750nixiv解：1、计算算术平均值101124.772410iixxmm10210.008343101iivsmm0.00160.0056-0.00140.0076-0.00040.00460.00060.00260.0016-0.02242、计算残余误差iivxx3、计算单次测量的标准差4、判断系统误差-0.025-0.02-0.015-0.01-0.00500.0050.01024681012根据残余误差观察法，可以看出误差符号大体上正负相同，且无显著变化规律，因此，可判断该测量列无变化的系统误差存在。和检验法前半残差和后半残差和10.013v20.0134v11||0.013(0.0134)0.0264vv可判断该测量列无线性变化的系统误差存在。22100.0083430.052764ns5、判别粗大误差1024.75x为可疑数据100.0224v10x含有粗大误差，为异常值，应剔除根据Grubbs准则，查表(0.05,10)2.176G100.0224(0.05,10)2.1760.0083430.018154vGs因6、计算粗大误差剔除后的算术平均值和单次测量的标准差91124.774899iixxmm9210.00293491iivsmm7、计算算术平均值的标准差()0.002934()0.0009789sxsxmmn8、计算算术平均值的极限误差（区间半宽度）因为测量列的测量次数较少，算术平均值的区间半宽度按t分布计算，查t分布临界值表0.052()(1)()2.3060.0009780.002256()xtnsxmm0.052(91)2.306t9、写出最后测量结果24.7748924.7749xmmmm()0.0022560.0023xmmmm24.77490.0023mmxxx不等权直接测量列测量结果的数据处理对某一角度进行六组不等权测量，各组测量结果如下假定各组测量结果不存在系统误差和粗大误差，求最后结果。1234566=75180630=75181024=75180812=751816=7518136=751809oooooo测次得测次得测次得测次得测12次得测3次得解：1、求加权算术平均值首先根据测量次数确定各组的权，有1234566,30,24,12,12,36nnnnnn1234566,30,24,12,12,36pppppp123456:::::1:5:4:2:2:6pppppp1234561,5,4,2,2,6pppppp因取620iip计算加权算术平均值6161iiiiipp105442210276375180620o7518064751810oo2、求加权算术平均值的标准偏差计算残差117518067518104voo20,v32,v46,v53,v51v2111(1)miimiipvsmp1.13、求加权算术平均值的区间半宽度因为该角度进行六组测量共有120个直接测得值，可认为该测量列服从正态分布，取置信因子k=3最后结果的区间半宽度为()3()31.13.3s4、写出最后测量结果7518103.3o第6章函数误差与误差合成知识点和教学目标函数系统误差函数随机误差误差分配微小误差取舍准则最佳测量方案第一节函数误差基本概念由于被测对象的特点，不能直接进行测量，或者直接测量难以保证测量准确度，需要采用间接测量间接测量通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数函数误差间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差间接测量数学模型某类间接测量的数学模型（显函数）与被测量有函数关系的各个直接测量值及其他非测量值，又称输入量y间接测量值又称输出量12(,,...,)nyfxxx12,,,nxxx12(,,,)NYfXXXL一、函数系统误差计算函数系统误差公式由高等数学可知，对于多元函数，其增量可用函数的全微分表示，则函数增量各个直接测量值的系统误差,由于这些误差值皆较小，可以近似代替微分量12(,,...,)nyfxxx1212...nnfffdydxdxdxxxx12,,,nxxxL12,,,ndxdxdxL函数系统误差的近似计算公式y1212...nnfffyxxxxxx为各个输入量在该测量点处的误差传播系数(1,2,,)ifxin12(,,,)nxxx和的量纲或单位相同，则起到误差放大或缩小的作用ixyifx和的量纲或单位不相同，则起到误差单位换算的作用ixyifx常见函数的系统误差计算1、线性函数1122...nnyaxaxax1122...nnyaxaxax12...nyxxx2、三角函数形式12sin,,...,nfxxx11cosniiifxx系统误差公式1ia当（线性关系）【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。50mmh500mml50.1mmh499mml【解】建立间接测量大工件直径的函数模型24lDhhD2lh220500501300mm4450lDhh不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值500mml50mmh车间工人测量弓高、弦长的系统误差hl5050.10.1mmh5004991mml直径的系统误差5124(0.1)7.4mmffDlhlh50052250fllh222250011244450flhh故修正后的测量结果013007.41292.6mmDDD计算结果误差传播系数为2(,)4lDflhhh若直接用h=50.1和L=499计算得：1292.62mm。二、函数随机误差计算二、函数随机误差计算随机误差常用表征其取值分散程度的标准差来评定，对于函数的随机误差，也可用函数的标准差来评定。因此，函数随机误差计算的一个基本问题就是研究函数的标准差与各测量值的标准差之间的关系。ynxxx,...,,2112(,,...,)nyfxxx变量中有随机误差，即泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得函数的一般形式（显函数）1122(,,,)nnyyfxxxxxx121212(,,...,)nnnfffyyfxxxxxxxxx得到1212nnfffyxxxxxx数学模型2222222121122nyxxxnijijnijfffffDxxxxx2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx或第i个直接测得量的标准差xiix第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数ij第i个测量值和第j个测量值之间的协