奈奎斯特稳定判据

1第四节奈奎斯特稳定判据2一、辐角定理：对于一个复变函数)())(()())(()(2121nmpspspszszszsKsF式中-zi(i=1,2,…,m)为F(s)的零点，-pj(j=1,2,…,n)为F(s)的极点。[柯西辐角原理]：S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线CS包围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线CS移动一周时，在F(s)平面上映射的封闭曲线CF将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=Z－P。顺时针FC平面)(sF示意图平面s顺时针sC3若N为正，表示CF顺时针运动，包围原点；若N为0，表示CF顺时针运动，不包围原点；若N为负，表示CF逆时针运动，包围原点。函数F(s)是复变量s的单值函数，s可以在整个S平面上变化，对于其上的每一点，除有限(n)个极点外，函数F(s)都有唯一的一个值与之对应。对于一个复变函数)())(()())(()(2121nmpspspszszszsKsF[例]设：sssF2)()1,1(jds)1,0(jdf平面s平面)(sF124F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面。其中S平面上的全部零点都映射到F(s)平面上的原点；S平面上的极点映射到F(s)平面上时都变成了无限远点。除了S平面上的零、极点之外的普通点，映射到F(s)平面上是除原点之外的有限点。注意，虽然函数F(s)从S平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然而逆过程往往并非如此。例如已知)2)(1()(sssKsF)()2)(1(sFKsss这个函数在有限的S平面上除S=0,－1,－2以外均解析，除此三点外，S平面上的每一个S值在F(s)平面只有一个对应点，但是F(s)平面上的每一个点在S平面上却有三个映射点。最简单的说明方式就是将方程改写成)())(()())(()(2121nmpspspszszszsKsF5现考虑S平面上一点s1映射到F(s)平面上的点F(s1)可以用一个向量来表示，即当njpsjjmizsjisFjjiepsezsKesFsF1)(11)(1)(11111)()(向量的幅值为njjmiipszssF11111)()()(njjmiipszsjnjjmiiepszsK1111)()(1111njjmiipszsKsF11111)()()(njjmiipszsKsF11111)(向量的相角为6ReImReImS平面F(s)平面)(s)(sF7当S平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也将是一段曲线CF，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变化量，则有21221111112121111111()()()()()()()()()()()()()mnmnijijijijmmnniijjiijjmnijijFsFsFsszspszspszszspspszspsssF2)(例2122112121()()()(2)(0)(2)(0)(2)(2)(0)(0)FsFsFsssssssss8[例]设：，当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从(-1，j1)到(-1，j0)，映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从(0，-j1)到(-1，-j0)，相角的变化为：sssF2)(平面)(sF平面s12)1,1(jds)1,0(jdf2100000()()()0180(45135)90FsFsFs11-1-0.500.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52平面)(sFABCDEFGH1.围线CS既不包围零点也不包围极点如图所示，在S平面上当变点s沿围线CS按顺时针方向运动一周时，我们来考察F(S)中各因子项的辐角的变化规律。ABCDEFGH12平面s顺时针SC123现以图中未被包围的零点-2为例。当变点s沿CS绕行一周后，因子(s+2)的辐角a的变化为0°。同理，对未被包围的极点也是一样，因子项(s+0)的辐角b在变点s沿CS绕行一周后的变化也等于0°。于是，映射到F(S)平面上，当变点F(s)沿CF绕行一周后的辐角变化也应等于0°。这表明，围线CF此时不包围原点。ab◎122.围线CS只包围零点不包围极点如图所示围线CS包围一个零点z=-2，先考察因子(s+2)辐角a，当变点s沿CS顺时针绕行一周时，a的变化为-360°。映射到F(S)平面上对应变点F(S)沿CF绕行一周后的辐角变化也应等于-360°。同理，当围线CS的内域包含Z个零点时(但不包含极点)，CF应顺时针包围原点Z次。ABCDEFGH12平面s顺时针SC-2-1.5-2-1.5-1-0.500.511.52-1-0.500.511.52ACDEGa13⒊围线CS只包围极点不包围零点这种情况如图所示，如果围线CS包围一个极点，则当变点s沿CS顺时针绕行一周时，因子(s+0)-1的辐角-b将变化360°。映射到F(S)平面上，围线CF应逆时针包围原点一次。同理，当围线CS的内域只包含P个极点时，CF应逆时针包围原点P次，或者说，CF顺时针包围原点－P次。ABCDEFGH12平面s顺时针SC-1-0.500.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52ABCDEFGHb14⒋围线CS包围Z个零点和P个极点由上述讨论显然可知，当变点s沿CS顺时针绕行一周时，CF应顺时针包围原点Z－P次。亦即CF顺时针包围原点次数N=Z－P。这就是所谓辐角原理。ABCDEFGH12平面s顺时针SC-2-1.5-1-0.500.511.52-1-0.500.511.522.53ABCDEFGH15[柯西辐角原理]：S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线CS包围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线CS移动一周时，在F(s)平面上映射的封闭曲线CF将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=Z－P。若N为正，表示CF顺时针运动，包围原点；若N为0，表示CF顺时针运动，不包围原点；若N为负，表示CF逆时针运动，包围原点。16二、奈奎斯特稳定判据：奈奎斯特当年就是巧妙地应用了辐角原理得到了奈奎斯特稳定判据。设系统结构图如图所示)()()(sHsGsGk)()(1)()(sHsGsGs)(sR)(sC)(sG)(sH令：)()()(,)()()(2211sNsMsHsNsMsG则开环传递函数为：)()()()()(2121sNsNsMsMsGk……………(a)闭环传递函数为：212121)(NNMMNMs……………(b)17显然，令复变函数等于零即是闭环特征方程。复变函数的阶数为n阶，且分子分母同阶。则复变函数可写成以下形式：njjniipszssF11)()()(。式中，为F(s)的零、极点。jipz,由上页(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的极点为F(s)的零点为将闭环特征式与开环特征式之比构成一个复变函数，得：kGGHNMNMNNNNMMsF111)(2211212121……………..(c)开环传递函数的极点；闭环传递函数的极点；18奈奎斯特为了应用柯西辐角原理研究闭环系统的稳定性，因此设想：如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西辐角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：N=F(s)的右半零点数－F(s)的右半极点数=闭环系统右半极点数－开环系统右半极点数当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。19这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西辐角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性Gk(jw)相联系？①正虚轴：0wwjs第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线CS包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈奎斯特路径。如下图所示。它可分为三部分：wjew0sCⅠⅡⅢ22从，，ReRsj②右半平面上半径为无穷大的半圆：0wwjs③负虚轴：20F(s)平面上的映射是这样得到的：②以s=R·ej代入F(s)，令R→∞，:，得第二部分的映射；22得到映射曲线后，就可由柯西辐角定理计算N=Z－P，式中Z、P是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。若已知P，并能确定N，可求出Z=N+P。当Z=0时，系统稳定；否则不稳定。①以s=jw代入F(s)，令w从0→∞变化，得第一部分的映射；③以s=jw代入F(s)，令w从－∞→0，得第三部分的映射。21②F(s)对原点的包围，相当于Gk(s)对(-1,j0)的包围；即映射曲线F(s)对原点的包围次数N与Gk(s)对(-1,j0)点的包围的次数一样。第Ⅰ部分的映射是Gk(jw)曲线向右移1；③F(s)的极点就是Gk(s)的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是Gk(s)在右半平面的极点数。①由Gk(jw)可求得F(jw)，而Gk(jw)是开环频率特性。第2个问题：如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性Gk(jw)相联系？奈奎斯特所构造的的F(s)＝1＋Gk(s)，Gk(s)为开环传递函数。第Ⅱ部分的映射，一般在Gk(s)中，分母阶数比分子阶数高，所以当s=∞·ej时，Gk(s)→0，即F(s)=1。若分母阶数=分子阶数，则Gk(s)→K(零极点形式的开环增益)，即F(s)=1+K。第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分的映射关于实轴的对称。22-2-102345w=0w=∞ReIm-4-3-2-112341F平面原点F平面-4-3-2-11234-2-1012345Gk平面原点Gk平面Gk平面(-1,j0)点23[奈奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P个极点，且开环频率特性曲线对(－1，j0)点包围的次数为N，（N0顺时针，N0逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：Z=N+P。若Z=0，则闭环系统稳定，否则不稳定。[奈奎斯特稳定判据的另一种描述]：设开环系统传递函数Gk(s)在右半s平面上的极点数为P，则闭环系统稳定的充分必要条件为：在Gk(s)平面上的开环频率特性曲线及其镜象当w从－∞变化到+∞时，将以逆时针的方向围绕(－1，j0)点P圈。对于开环系统稳定的情况，P=0，则闭环系统稳定的充分必要条件是开环频率特性曲线及其镜象不包围(－1，j0)点。不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为：Z=N+P。24[例5-6]开环传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。)1)(1()(21sTsTKsGk[解]：22222111)()1)(1()1()(2222212212111)(TtgTtg)1)(1()()(222221210)()(0)()(0wwQKPKA，，，，时当212121)(10)(TTTTKQTTP，此时，解得令0)(0)()(0)(wwwwwQPA，，，，时当0KReIm0ww2121TTTTK211TTw25当参数K，T1和T2为任何正值时，P=0。开环系统的奈氏图如右。在s右半平面