概率论与数理统计-第三章

河南理工大学精品课程概率论与数理统计二维随机变量边缘分布随机变量的独立性二维随机变量函数的分布第三章多维随机变量及其分布§1、二维随机变量一、概念定义1设在试验E的样本空间S={e}上定义了两个随机变量X、Y,称向量(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量.二维随机变量(X,Y)不仅与各个随机变量X,Y有关,也与X,Y间的内在联系有关.因此,不能试图通过单独研究随机变量X,Y而来了解二维随机变量(X,Y),必须将(X,Y)作为一个整体来研究.类似于一维随机变量,我们也可利用“分布函数”来研究二维随机变量(X,Y),并且分别就离散型与连续型来加以分析.请你注意定义2设(X,Y)为二维随机变量,称二元函数},{),(yYxXPyxF为二维随机变量(X,Y)的分布函数,也称为随机变量X与Y的联合分布函数,其中为任意实数.yx,分布函数在点处的函数值就是事件“随机点(X,Y)落在以点为右上顶点的角形区域”的概率.),(yxF),(yx),(yx二、分布函数及其性质定义域为全平面分布函数具有下列基本性质:关于x、y均单调不减右连续.),(yxF对任意点均有：21212211,),,(),,(yyxxyxyx},{2121yYyxXxP;0),(),(),(),(12212211yxFyxFyxFyxF;1),(;1),(0FyxF;0),(),(),(FxFyF分布函数与离散型二维随机变量分布律、连续型二维随机变量概率密度的关系[见后].随机向量落在矩形区域的概率三、离散型二维随机变量1、概念定义3如果二维随机变量(X,Y)所有可能取值为有限个或可列无限个点,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.).,2,1,(},{jipyYxXPijji2、分布律设二维离散型随机变量(X,Y)可能取值为),,2,1,)(,(jiyxji则(X,Y)的分布律(概率分布)[X与Y的联合分布律]为分布律满足:.111ijijp分布律可用表格表示:XYixxx2112111ipppijjjppp2122212ipppjyyy21);,2,1,(0jipij[概率的非负性][概率的规范性]【例1】[P.71]将一枚硬币连抛三次,以X表示在“三次中出现正面的次数”,Y表示“三次中正、反面次数差的绝对值”,求X与Y的联合分布律.〖解〗X取值0,1,2,3;Y取值1,3.基本事件总数为8.X与Y的联合分布律为:P{X=0,Y=1}=P(φ)=0;P{X=0,Y=3}=1/8;[TTT]P{X=1,Y=1}=3/8;[HTT,THT,TTH]P{X=1,Y=3}=P(φ)=0;P{X=2,Y=1}=3/8;[HHT,HTH,THH]P{X=2,Y=3}=P(φ)=0;P{X=3,Y=1}=P(φ)=0;P{X=3,Y=3}=1/8.[HHH]古典概率例1-续X与Y的联合分布律为：□二维离散型随机变量的分布列形象化解释设想将一单位质量的物质分配在（X，Y）所有可能取值的点处，相应分配的量就是对应的概率值。这样一来，随机变量取值落在某个平面区域G上的概率就等于G内各可能取值点处概率之和。},{}),{(),(jGyxiyYxXPGYXPji请自学P.72:例2。四、连续型二维随机变量,),(),(yxdudvvufyxF1、概念定义4设为二维随机变量(X,Y)分布函数,如果存在非负函数使对任意实数有),(yxF),(yxfyx,则称(X,Y)为二维连续型随机变量,其中称为随机变量(X,Y)的概率密度,或称为随机变量X与Y的联合概率密度.),(yxf2、概率密度及其性质概率密度具有下列性质:设G为平面xoy上的一个区域,则随机点(X,Y)落在G内的概率为:.),(}),{(GdxdyyxfGYXP);),((0),(2Ryxyxf;1),(dxdyyxf[曲顶柱体体积][确定待定参数]概率密度性质.),(),(2yxyxFyxf若在点处连续,则有),(yxf),(yx[由分布函数求概率密度],),(),(yxdudvvufyxF[由概率密度求分布函数]【例2】(典型题）设r.v.(X,Y)的概率密度为〖解〗由概率密度性质得其它,0,0,0,),()2(yxCeyxfyxdxdyyxf),(1(1)确定C的值;(2)求(X,Y)的分布函数;(3)求概率}.{XYP(1)因为,2|)1(|)21(002CeeCyx200xyCedxedy所以.2C其它,0,0,0,2),()2(yxeyxfyx故例2-续1(2)由概率密度求分布函数.解题思路画出联合概率密度的非零区域;点(x,y)在全平面范围内取值;综合上述两点得出就(x,y)的分段情形.yxdudvvufyxF),(),(,,0,0,0,2002其它yxdveduexyvu,,0,0,0,||002其它yxeeyvxu,,0,0,0),1)(1(2其它yxeeyx例2-续2本例中分布函数应分为两段来计算:就x0,y0与“其它”。利用重积分对积分区域的可加性,只保留非零积分例2-续3(3)求概率P{Y≤X}.只需在概率密度f的非零区域与事件区域G={(x,y)|y≤x}的交集D上积分.由公式.),(}),{(GdxdyyxfGYXP得:.),(),(}{xyDdxdyyxfdxdyyxfXYPdxeedyedxexyxxyx002002|)1(22例2-续4.31321|]32[)1(203202xxxxeedxee本例是一个典型题.大家应熟练掌握分析与计算的方法。特别是会根据不同形状的概率密度非零区域与所求概率的事件区域G来处理这类问题。□就P.73:例3来共同考虑如何分段?应分几段?怎样计算各段值?(板书)二维均匀分布设G为一个平面有界区域,其面积为A.如果二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为,,0,),(,1),(其它GyxAyxf则称(X,Y)服从区域G上的均匀分布,记为(X,Y)~U(G).1、二维均匀分布两种常见的二维连续型分布二维正态分布设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为2、二维正态分布21212221)()1(21exp121),(xyxf22222121)())((2yyx其中均为常数,称(X,Y)为服从参数为的二维正态分布,记为)11,0,(,,,,212121,,,,2121).,,,,(~),(2121NYX§2、边缘分布一、边缘分布函数及其求法设二维随机变量(X,Y)的分布函数为,X与Y作为单个随机变量的分布函数分别为,称),(yxF)(),(yFxFYX)(),(yFxFYX分别为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.问题:联合分布(函数)与边缘分布(函数)有什么关系?结论:联合分布(函数)边缘分布(函数)但当X与Y相互独立时,联合分布(函数)与边缘分布(函数)可相互确定.[§3]设二维随机变量(X,Y)的分布函数为,边缘分布函数[即X与Y的分布函数]为，则有),(yxF)(),(yFxFYX因此，由联合分布函数可求得边缘分布函数：),()(),()(yFyFxFxFYX).,(},{}{)(yFyYXPyYPyFY),,(},{}{)(xFYxXPxXPxFX即可通过联合分布函数求极限来确定边缘分布函数。二、离散型二维随机变量的边缘分布律设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为xxjijXipxFxF1),()().,2,1,(},{jipyYxXPijji则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关系得：}{)(xxiXixXPxF又由一维离散型随机变量分布函数与分布律关系得：比较可得X的分布律为：ijijippxXP1}{同理可得Y的分布律为：1iijjpp我们称1jijippjiijjppyYP1}{——(X,Y)关于X的边缘分布律——(X,Y)关于Y的边缘分布律显然,由联合分布律可求得各个边缘分布律,只需采用“同一表格法”.设r.v.X与Y的联合分布律为〖解〗利用公式得边缘分布律,见上表“边缘”.求X,Y的边缘分布律.【例3】三、连续型二维随机变量的边缘概率密度设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度为dxdyyxfxFxFxX),(),()()),)((,(2Ryxyxf则由联合分布函数与边缘分布函数、联合概率密度关系得：dttfxFxXX)()(又由一维连续型随机变量分布函数与概率密度关系得：比较可得X为连续型随机变量,且X的概率密度为：dyyxfxfX),()(同理可得Y的概率密度为：我们称dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(—(X,Y)关于X的边缘概率密度—(X,Y)关于Y的边缘概率密度显然,由联合概率密度可求得各个边缘概率密度,只需对某一个变量在(-∞,+∞)上积分,但必须注意另一个变量应在全体实数范围内取值.dxyxfyfY),()(参量积分【例4】(典型题）设r.v.X与Y的联合概率密度为解题思路求X,Y的边缘概率密度.,,0,,6),(2其它xyxyxf画出联合概率密度的非零区域;参量x(y)在实数范围内取值;综合上述两点就x(y)分两种情形关于y(x)由-∞积分到+∞,只需在积分直线与非零区域交线上进行.dyyxfxfX),()(,,0,10,62其它xdyxx.,0,10)(62其它xxx类似可得:〖解〗由公式得:例4-续1dxyxfyfY),()(例4-续2dxyxfyfY),()(,,0,10,6其它ydxyy.,0,10)(6其它yyy本例是求边缘概率密度的典型题，不同的题目只是非零区域形状和积分表达式的变化，必须熟练掌握.□二维正态分布的边缘分布);(21)(21212)(1xexfxX不难求得二维正态分布随机变量的边缘概率密度为:由此可知:二维正态分布的边缘分布均为一维正态分布,且与参数ρ无关.).(21)(22222)(2yeyfxY表明:由联合分布可以确定边缘分布,但由边缘分布未必能确定联合分布.§3、相互独立的随机变量则称随机变量X与Y是相互独立的.},{}{},{yYPxXPyYxXP定义1设分别为二维随机变量(X,Y)分布函数与边缘分布函数.如果对于任意的实数均有)(),(),,(yFxFyxFYXyx,一、概念即),()(),(yFxFyxFYX利用两事件的独立性可以定义两随机变量的独立性.二、判定由定义可以判定随机变量X与Y的独立性:).),()(()(),(2RyxyFxFyxFYXX与Y相互独立特别的，对离散性和连续性随机变量，也可利用其分布律与概率密度来判定独立性。1、离散型随机变量离散型随机变量(X,Y)的分布律、边缘分布律分别为}{,}{,},{jiiijjiyYPpxXPpyYxXP则X与Y相互独立的充要条件是:对(X,Y)的所有可能取得值,均有),(jiyx}{}{},{jijiyYPxXPyYxXP