全国中考数学一元二次方程的综合中考真题汇总及答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴PQ=62cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是62cm；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则12BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则12QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．考点：一元二次方程的应用．2．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P（﹣2﹣1，2）；②P（﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；②ΔOBCΔAPDABCPC=PDOSSSS四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2yaxbxc与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为1x，∴0{312abccba，解得：1{23abc，∴二次函数的解析式为223yxx=2(1)4x，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230yxx，解得3x或1x，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在223yxx上，∴设点P（x，223xx），①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即2232yxx，解得x=21（舍去）或x=21，∴点P（21，2）；②设P(x，y)，则223yxx，∵ΔOBCΔAPDABCPC=PDOSSSS四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222xyyx=333222xy=2333(23)222xxx=239622xx=23375()228x，∴当x=32时，ABCPS四边形最大值=758，当x=32时，223yxx=154，此时P（32，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．3．解下列方程：（1）x2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0．【答案】(1)12313313,22xx;(2)12223,223yy【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x2﹣3x﹣1=0，∵b2﹣4ac=13＞0∴．∴12313313,22xx．（2）（y+2）2=12，∴或，∴12223,223yy4．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．【答案】x1=1+3，x2=1﹣3【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，解得：x1=1+3，x2=1﹣3．5．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2x2＋4x－1＝0；（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0.【答案】（1）x1＝－1＋62，x2＝－1－62；（2）y1＝－14，y2＝32.【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1∴△=b2-4ac=16+8=24＞0∴x=242bbcaa=42461222∴x1＝－1＋62，x2＝－1－62（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0[(y+2)+(3y-1)][(y+2)-(3y-1)]=0即4y+1=0或-2y+3=0解得y1＝－14，y2＝32.6．（问题）如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？（探究）探究一：（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2=232=3条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3．（2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3=342=6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6．（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+…+a=aa12线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______．探究二：（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有aa12条线段，棱AC上有1+2=232=3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为aa12×3×1=3aa12．（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有aa12条线段，棱AC上有1+2+3=342=6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为______．（6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．探究三：（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB上有aa12条线段，棱AC上有bb12条线段，棱AD上有1+2=232=3条线段，则图中长方体的个数为3aa12×bb12×3=3aba1b14．（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB上有aa12条线段，棱AC上有bb12条线段，棱AD上有1+2+3=342=6条线段，则图中长方体的个数为______．（结论）如图①，在a×b×c个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．（应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．（拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．【答案】探究一：（3）aa12；探究二：（5）3a（a+1）；（6）aba1b14；探究三：（8）3aba1b12；【结论】：①abca1b1c18；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：探究一、（3）棱AB上共有aa12线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为aa12×1×1=aa12，故答案为aa12；探究二：（5）棱AB上有aa12条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为aa12×6×1=3a（a+1），故答案为3a（a+1）；（6）棱AB上有aa12条线段，棱AC上有bb12条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为aa12×bb12×1=aba1b14，故答案为aba1b14；探究三：（8）棱AB上有aa12条线段，棱AC上有bb12条线段，棱AD上有6条线段，则图中长方体的个数为aa12×bb12×6=3aba1b12，故答案为3aba1b12；(结论)棱AB上有aa12条线段，棱AC上有bb12条线段，棱AD上有cc12条线段，则图中长方体的个数为aa12×bb12×cc12=abca1b1c18，故答案为abca1b1c18；(应用)由(结论)知，abca1b1c18，∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为2342131418=180，故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x个小立方体，即a=b=c=x，由题意得33(1)8xx=1000，∴[x（x+1）]3=203，∴x（x+1）=20，∴x1=4，x2=-5（不合题意，舍去）∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64．【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a≤174；（2）x=1或x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤174；（2）由（1）可知a≤