圆与方程的知识点+典型例题分类解析+练习(精华-涵盖面很广)

卓越个性化教案GFJW0901课题02-圆与方程的知识点练习教学目标掌握圆的方程求法，点、直线与圆的位置关系、切线方程求法重点圆的方程求法，直线与圆的综合运用求解问题难点直线与圆的相关问题，韦达定理的运用【知识点】（知识点较为全面而详细，望细细体会，并记忆）1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为r；点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的位置关系：当2200()()xayb2r，点在圆外当2200()()xayb=2r，点在圆上当2200()()xayb2r，点在圆内（2）圆的参数方程222cos0sinxrxyrryr，为参数222cos0sinxarxaybrrybr，为参数（3）一般方程022FEyDxyx当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。（4）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。（垂径定理）3.点与圆的位置关系：1.设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．2.给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.①M在圆C内22020)()(rbyax②M在圆C上22020)()rbyax（卓越个性化教学讲义2/34③M在圆C外22020)()(rbyax4、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,到l的距离为22BACBbAad，则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2★★★★★常见题型——求过定点的切线方程①切线条数点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无★★★★②求切线方程的方法及注意点．．．i）点在圆外如定点00,Pxy，圆：222xaybr，[22200xaybr]第一步：设切线l方程00yykxx第二步：通过drk，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了！如：过点1,1P作圆2246120xyxy的切线，求切线方程.答案：3410xy和1xii）点在圆上1）若点00xy，在圆222xyr上，则切线方程为200xxyyr会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.2）若点00xy，在圆222xaybr上，则切线方程为200xaxaybybr碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用基本图形，22222APCPrAPCPr求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1ACAPACrkk（4）直线与圆相交：求弦长及弦长的应用问题垂径定理．．．．及勾股定理——常用弦长公式：222121212114lkxxkxxxx（暂作了解，无需掌握）（5）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（6）关于点的个数问题卓越个性化教学讲义3/34例：若圆22235xyr上有且仅有两个点到直线4320xy的距离为1，则半径r的取值范围是_________________.答案：4,6问题：若一直圆O直径AB两个端点，如何求圆的方程？★.直线与圆相离会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当rRd时，两圆内含；当0d时，为同心圆。外离外切相交内切内含注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点★★★两圆公共弦所在直线方程圆1C：221110xyDxEyF，圆2C：222220xyDxEyF，则1212120DDxEEyFF为两相交圆公共弦方程.★★★★圆的切线方程：圆222ryx的斜率为k的切线方程是rkkxy21过圆022FEyDxyx上一点),(00yxP的切线方程为：0220000FyyExxDyyxx.一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx.若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则1)()(2110101RxakybRxxkyy，联立求出k切线方程.会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）★★★★圆系问题（1）过两圆1C：221110xyDxEyF和2C：222220xyDxEyF交点的圆系方程为22221112220xyDxEyFxyDxEyF（1）说明：1）上述圆系不包括2C；2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）卓越个性化教学讲义4/34（2）过直线0AxByC与圆220xyDxEyF交点的圆系方程为220xyDxEyFAxByC五、对称问题1.若圆222120xymxmym，关于直线10xy，则实数m的值为____.答案：3（注意：1m时，2240DEF，故舍去）变式：已知点A是圆C:22450xyaxy上任意一点，A点关于直线210xy的对称点在圆C上，则实数a_________.2.圆22131xy关于直线0xy对称的曲线方程是________________.变式：已知圆1C：22421xy与圆2C：22241xy关于直线l对称，则直线l的方程为_______________.3.圆22311xy关于点2,3对称的曲线方程是__________________.4.已知直线l：yxb与圆C：221xy，问：是否存在实数b使自3,3A发出的光线被直线l反射后与圆C相切于点247,2525B？若存在，求出b的值；若不存在，试说明理由.六、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数x，y满足方程22410xyx，求：（1）5yx的最大值和最小值；——看作斜率（2）yx的最小值；——截距（线性规划）（3）22xy的最大值和最小值.——两点间的距离的平方2.已知AOB中，3OB，4OA，5AB，点P是AOB内切圆上一点，求以PA，PB，PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.数形结合和参数方程两种方法均可！3.设,Pxy为圆2211xy上的任一点，欲使不等式0xyc恒成立，则c的取值范围是____________.答案：21c（数形结合和参数方程两种方法均可！）注意：多思考圆的几何性质，运用几何性质（垂径定理，对称性），勿一味运用代数运算解决问题，有时会使问题复杂化！圆的方程中典型问题分类解析卓越个性化教学讲义5/34一、求圆的方程例1(06重庆卷文)以点)1,2(为圆心且与直线0543yx相切的圆的方程为()(A)3)1()2(22yx(B)3)1()2(22yx(C)9)1()2(22yx(D)9)1()2(22yx1.求圆的标准方程【例2】已知一个圆经过两点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求此圆的方程.【思考与分析】可以先设定圆心的坐标，再利用它到A、B两点的距离相等来确定，从而求得圆的方程.。解：设点C为圆心，∵点C在直线l：x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为（2a＋3，a）.又∵该圆经过A、B两点，∴|CA|=|CB|.解得a＝－2，∴圆心坐标为C（－1，－2），半径r＝.故所求圆的方程为（x＋1）2＋（y＋2）2=10.2.求圆的一般方程【例3】△ABC的三个顶点坐标分别为A（－1，5）、B（－2，－2）、C（5，5），求其外接圆的方程.【思考与分析】本题与圆心坐标和半径没有关系，我们选用圆的一般式方程即可.三角形的三个顶点都在其外接圆上，所以可以联立方程组，从而求得圆的方程.解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得方程组解得D＝－4，E＝－2，F＝-20.∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－4x－2y-20=0.【变式题】已知两点P1（4，9）、P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程.解法1：设圆心为C（a，b）、半径为r.由中点坐标公式，得a＝＝5，b＝＝6.∴C（5，6），再由两点间距离公式，得∴所求的圆的方程为（x－5）2＋（y－6）2＝10.解法2：设P（x，y）是圆上任意一点，且圆的直径的两端点为P1（4，9）、P2（6，3），∴圆的方程为（x－4）（x－6）＋（y－9）（y－3）＝0，化简得（x－5）2＋（y－6）2＝10，即为所求.解法3：设P（x，y）是圆上任意一点.由圆的性质有三角形PP1P2为直角三角形，∴（x－4）2＋（y－9）2＋（x－6）2＋（y－3）2＝（4－6）2＋（9－3）2，卓越个性化教学讲义6/34化简得x2＋y2－10x－12y＋51＝0.∴（x－5）2＋（y－6）2＝10，即为所求的圆的方程.解法4：设P（x，y）是圆上不同于P1、P2的任意一点.∵直径上的圆周角为直角，∴PP1⊥PP2.（1）当PP1、PP2的斜率都存在时，（2）当PP1、PP2的斜率有一个不存在时，PP1、PP2的方程为x＝4或x＝6，这时点P的坐标是（4，3）或（6，9），均满足方程（*）.又P1（4，9）、P2（6，3）也满足方程（*），所以，所求圆的方程为（x－5）2＋（y－6）2＝10.●点击双基1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是A.－1t71B.－1t21C.－71t1D.1t2解析：由D2+E2－4F0，得7t2－6t－10，即－71t1.答案：C2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1