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1高考一轮复习机械能守恒专题一.重力做功与重力势能1．重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关．(2)重力做功不引起物体机械能的变化．2．重力势能(1)概念：物体由于被举高而具有的能．(2)表达式：Ep＝mgh.(3)矢标性：重力势能是标量，正负表示其大小．3．重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.二、机械能守恒定律1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能会发生相互转化，但机械能的总量保持不变．2．机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功．3．对守恒条件的理解(1)只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒．(2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功．(3)弹力做功伴随着弹性势能的变化，并且弹力做的功等于弹性势能的减少量．4．机械能守恒的三种表达式(1)E1＝E2(E1、E2分别表示系统初、末状态时的总机械能)．(2)ΔEk＝－ΔEp或ΔEk增＝ΔEp减(表示系统动能的增加量等于系统势能的减少量)．(3)ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB减(表示系统只有A、B两部分时，A增加的机械能等于B减少的机械能).2考点一机械能守恒的判断(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：若物体动能、势能均不变，则机械能不变．若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减小)，其机械能一定变化．(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒．(4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失．例1如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是()A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒B．乙图中物体匀速运动，机械能守恒C．丙图中小球做匀速圆周运动，机械能守恒D．丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒解析CD甲图中无论火箭匀速上升还是加速上升，由于有推力做功，机械能增加，因而机械能不守恒．乙图中拉力F做功，机械能不守恒．丙图中，小球受到的所有力都不做功，机械能守恒．丁图中，弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，两小车与弹簧组成的系统机械能守恒．1．机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力做功”不等于“只受重力作用”．2．对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒．3．对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．突破训练1如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是()A．斜劈对小球的弹力不做功B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒C．斜劈的机械能守恒D．小球机械能的减小量等于斜劈动能的增大量解析球有竖直方向的位移，所以斜劈对球做功．不计一切摩擦，小球下滑过程中，小球和斜劈组成的系统中只有动能和重力势能相互转化，系统机械能守恒，故选B、D.3考点二机械能守恒定律的三种表达形式及应用1．守恒观点(1)表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.(2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能．(3)注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．2．转化观点(1)表达式：ΔEk＝－ΔEp.(2)意义：系统的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能．3．转移观点(1)表达式：ΔEA增＝ΔEB减．(2)意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量．例2在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如左下图所示形状，相应的曲线方程为y＝2.5cos(kx＋23π)(m)，式中k＝1m－1.将一质量为1kg的光滑小环套在该金属杆上，在P(－π6m,0)点给小环以平行于杆、大小为10m/s的初速度，让小环沿杆向x轴正方向运动，取g＝10m/s2，关于小环的运动，正确的是()A．金属杆对小环不做功B．小环沿x轴方向的分运动为匀速运动C．小环到达金属杆的最高点时的速度为52m/sD．小环到达Q(π3m，－2.5m)点时的速度为102m/s解析小环光滑不存在摩擦力，运动的时候，金属杆对小环只有支持力的作用，支持力的方向始终都是与运动方向垂直的，因此支持力不做功，A正确；小环运动时金属杆对小环的支持力沿x轴方向有水平分量，小环在水平方向具有加速度，是变速运动，B错；根据题图和曲线方程可以看出小环运动到最高点时，上升的高度为2.5m，由机械能守恒定律12mv20＝mgh＋12mv2可以求出最高点时小环的速度v＝52m/s，所以C正确；Q点的纵坐标为－2.5m即高度为－2.5m，代入上式得v′＝56m/s，D错．答案AC突破训练2如右上图所示，一根很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．不计空气阻力，从静止开始释放b后，a可能到达的最大高度为()A．hB．1.5hC．2hD．2.5h解析B在b球落地前，a、b球组成的系统机械能守恒，且a、b两球速度大小相等，根据机械能守恒定律可知：3mgh－mgh＝12(m＋3m)v2，v＝gh，b球落地时，a球高度为h，之后a球向上做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，12mv2＝mgΔh，Δh＝v22g＝h2，所以a球可能到达的最大高度为1.5h，B正确．4用机械能守恒定律分析竖直平面内的圆周运动模型例1如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置的半径为R的圆环顶点P，另一端系一质量为m的小球，小球穿在圆环上做无摩擦的运动．设开始时小球置于A点，弹簧处于自然状态，当小球运动到最低点时速率为v，对圆环恰好没有压力．正确的是()A．从A到B的过程中，小球的机械能守恒B．从A到B的过程中，小球的机械能减少C．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋mv2RD．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋mv22R解析：BC从A到B的过程中，因弹簧对小球做负功，小球的机械能将减少，A错误、B正确；在B点对小球应用牛顿第二定律可得：FB－mg＝mv2R，解得FB＝mg＋mv2R，C正确、D错误．【例2】如图，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的34圆弧轨道，两轨道相切于B点．在外力作用下，一小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤去外力．已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，重力加速度为g.求：(1)小球在C点的速度的大小；(2)小球在AB段运动的加速度的大小；(3)小球从D点运动到A点所用的时间．解析(1)小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，则有：mg＝mv2CR①解得vC＝gR(2)设小球在AB段运动的加速度为a，则由运动学公式得v2B＝2aR②从B到C，只有重力做功，小球的机械能守恒，则有：12mv2C＋mg·2R＝12mv2B③由①②③式联立可得a＝52g，vB＝5gR(3)设小球过D点的速度为vD，从C到D，小球的机械能守恒：12mv2C＋mgR＝12mv2D④解得vD＝3gR设小球回到A点时的速度为vA，从B到A，由机械能守恒定律得12mv2A＝12mv2B⑤所以vA＝vB从D到A的时间为t＝vA－vDg＝(5－3)Rg5突破训练1如图所示，两个34竖直圆弧轨道固定在同一水平地面上，半径R相同，左侧轨道由金属凹槽制成，右侧轨道由金属圆管制成，均可视为光滑．在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别为hA和hB，下列说法正确的是()．A．若使小球A沿轨道运动并且从最高点飞出，释放的最小高度为5R2B．若使小球B沿轨道运动并且从最高点飞出，释放的最小高度为5R2C．适当调整hA，可使A球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处D．适当调整hB，可使B球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处解析AD小球A从最高点飞出的最小速度vA＝gR，由机械能守恒，mghA＝2mgR＋12mv2A，则hA＝5R2，A选项正确；小球B从最高点飞出的最小速度vB＝0，由机械能守恒，mghB＝2mgR，释放的最小高度hB＝2R，B选项错误；要使小球A或B从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处，R＝v0t，R＝12gt2，则v0＝gR2，而A的最小速度vA＝gRv0，A球不可能落在轨道右端口处，B球可能，C选项错误、D选项正确．突破训练2如图所示，竖直平面内的34圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R，A点与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍，求：(1)释放点距A点的竖直高度；(2)落点C与A的水平距离．解析(1)设小球到达B点的速度为v1，因为到达B点时管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍，所以有9mg－mg＝mv21R又由机械能守恒定律得mg(h＋R)＝12mv21由此可解得h＝3R(2)设小球到达最高点的速度为v2，落点C与A的水平距离为x由机械能守恒定律得12mv21＝12mv22＋2mgR由平抛运动规律得R＝12gt2，R＋x＝v2t由此可解得x＝(22－1)R高考题组1．(2012·浙江·18)由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处由静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是()6A．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2RH－2R2B．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为22RH－4R2C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H2RD．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝52R解析BC要使小球从A点水平抛出，则小球到达A点时的速度v0，根据机械能守恒定律，有mgH－mg·2R＝12mv2，所以H2R，故C正确，D错误；小球从A点水平抛出时的速度v＝2gH－4gR，小球离开A点后做平抛运动，则有2R＝12gt2，水平位移x＝vt，联立以上各式可得x＝22RH－4R2，A错，选B正确．2．(2013·浙江·23)山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤，其示意图如图.图中A、B、C、D均为石头的边缘点，O为青藤的固定点，h1＝1.8m，h2＝4.0m，x1＝4.8m，x2＝8.0m．开始时，质量分别为M＝10kg和m＝2kg的大、小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头的A点水平跳至中间石头．大猴抱起小猴跑到C点，抓住青藤下端，荡到右边石头上的D点，此时速度恰好为零．运动过程中猴子均可看成质点，空气阻力不计，重力加速度g＝10m/s2.求：(1)大猴从A点水平跳离时速度的最小值；(2)猴子抓住青藤荡起时的速度大小；(3)猴子荡起时，青藤对猴子的拉力大小．解析(1)设猴子从A点水平跳离时速度的最小值为vmin，根据平抛运动规律，有h1＝12gt2①x1＝vmint②联立①②式，得vmin＝8m/s③(2)猴子抓住青藤后的运动过程中机械能守恒，设荡起时速度为vC，有(M＋m)gh2＝12(M＋m)v2C④vC＝2gh2＝45m/s⑤(3)设拉力为FT，青藤的长度为L，对最低点，由牛顿第二定律得FT－(M＋m)g＝(M＋m)v2CL