抽象函数专题讲解

吴俊甲抽象函数的性质研究抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如类比法、赋值法添、拆项等）。高考题和平时的模拟题中经常出现。抽象性较强；综合性强；灵活性强；难度大。没有具体给出函数解析式但给出某些函数特性或相应条件的函数关于抽象函数概念题型特点解题思路一、一次函数模型:f(x+y)=f(x)+f(y)解：xy令)()()0(,xfxff则0yx又令0)0(f得fxfx()()2)1()1(ff故，ff()()2214]24[]12[)(，上的值域为：，在xf)()()(yfyxfxf得，由)()()(yfxfyxf2121,xxxx且任取)]()([)()()()(2121yfyxfyfyxfxfxf则)()()(2121xxfyxfyxf21xx021xx0)(21xxf则根据题意有为增函数在函数Rxxf)(]12[)(2)1(0)(，在求，xffxf都有对任意的实数已知函数yxxf,)(时且当0)()()(xyfxfyxf例1:上的值域解法2：0)(12xxfRxxxx2121，且设012xx则,0)(0xfx时，由条件知当，])[()(1122xxxfxf又的增函数。为Rxxf)()()()(1112xfxfxxf54)1(32)1()2()12()3(fffff又)1()22(2faaf则的解集。求不等式时，当有对任意已知函数3)22(,5)3(2)(0),(2)()(,)(2aaffxfxyxfyfxfRyxxf例2：解：}31|{3)22(2aaaaf的解集为：因此不等式2)()()(yfyxfxf得，由2)()()(yxfyfxf2121,xxxx且任取]2)()([2)()()()(2121yfyxfyfyxfxfxf则)()()(2121xxfyxfyxf21xx021xx0)(21xxf则根据题意有3)1(f为增函数在函数Rxxf)(1222aa即31a二.指数函数模型:f(x+y)=f(x)•f(y)上为减函数在R)()2(xf)(xf已知满足，对一切,yxffxyfxfy()()()()00，0x且当1)(xf时;1)(00)1(xfx时，例3:求证:Ryx，对一切)()()(yfxfyxf有证明：0)0(f且0yx令1)0(f，得00xx则现设1)(xf那么ffxfx()()()01fxfx()()1101fx()Rxx21，设21xx且，则1)(012xxffxfxxx()[()]2211fxxfxfx()()()2111fxfx()()12为减函数。即)(xf得令xy三.对数函数模型：f(x•y)=f(x)+f(y)上是增函数，解不等式在若求证：求证：满足已知函数),0()(.3);()(.2;0)1()1(.1)0(),()()()(xfxfxfffxyfxfxyfxf0)21()(xfxf例4：)1()21(xfxf即解：0)1(1.1fyx得令0)1(1fyx得再令)()(1.2xfxfy得令)()()(:)()()(.3xyfyfxfyfxfxyf得由)1()(:1xfxfxy代入上式得令)()21(:0)21()(xfxfxfxf得由为增函数得：在因为),0()(xf021x0xxx121415121x解得：[课后练习]1.已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].1.证明f（－x）=f（x）；2.判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；3.若a≥0且f（a＋1）≤39，求a的取值范围.3.设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：(1).f（1）；(2).若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.)(xf)()()(yfxfyxf0)1(f);7()51()1(fxfxf2.设定义在(0,+∞)上的增函数,且（1）求证：（2）解不等式：.yfx()x0fx()1mn，fmnfmfn()()()mnfmfn()()f()01fx()4.设函数定义在R上，当时，且对任意，有当时（1）证明：（2）证明：在R上是增函数；鉴于时间关系和你们所学的进度本节课就讲这些。关于抽象函数的内容还有很多，希望大家今后善于思考、善于积累，学习取得大得进步！内容小结以上列举了求解抽象型函数问题的常规解题思想，当然对于用常规思想难以解决的数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，如合理赋值、类比联想;添、拆项;归纳猜想等等。处理这类问题时，常需将几种解题思想综合运用，多管齐下。通过抽象型函数问题的解题思想的探求，提高解题能力，培养思维的灵活性，最终达到创新思想的培养。