等和线解决的平面向量专题

1、【2014宁波二模理17】已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非．零实数．．．x、y，使得AOxAByAC，且21xy，则cos∠BAC=．ODBCA解答：取AC中点D，则有2AOxAByACxAByAD，而21xy，得点B,O,D三点共线，已知点O是△ABC的外心，可得BDAC，故有BC=AB=3，AC=4，求得2cos3BAC.2、【2014杭州二模文8理6】设O△ABC的外心（三角形外接圆的圆心）.若ACABAO3131，则BAC的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.90°ODBCA解答：取AC中点D，则有1233AOABAD，得点B,O,D三点共线，已知点O是△ABC的外心，可得BDAC，即有AO=BO=2DO，故可求得60BAC.3、【2009浙江理样卷6】已知AOB，点P在直线AB上，且满足2OPtPAtOBtR，则PAPB=（）A.13B.12C.2D.3解答：由已知212tOPOAtOBt，点P在直线AB上，得2112ttt，解得1t或12t.当1t时，可得1122OAOPOB，此时A为PB中点，PAPB=12；当12t时，可得1122OPOAOB，此时P为AB中点，PAPB=1.4、【2014浙江省六校联考理17】已知O为ABC的外心，2ABa，2(0)ACaa，120BAC，若AOxAByAC(x,y为实数)，则xy的最小值为_____．EOBCA解答：如图，设AOBCE，EOm，AOR，则易知11RRAOAExAByACRmRm，其中111xy，,2RmR，故由已知可得RxyRm，所求取值范围是2,.5、【2013学年第一学期末宁波理17】已知O为ABC的外心，120,2,4BACACAB。若ACABAO21，则21__________.EGFOBCA解法1：如图，设AOBCE，EOm，AOR，AFBC于F点，OGBC于G点，则易知11RRAOAExAByACRmRm，其中111xy，由已知可求得213OG，2217AF，故可求得121316RAFOGOGRmAFAF.解法2：212212AOABABACABAOACABACAC，得12128164244，解得125686，故12136.解法3：设0,0A，4,0B，1,3C，外心O是AB中垂线2x和AC中垂线32333yx的交点432,3O，得432,3AO，4,0AB，1,3AC，得1212244343333，有误，重解【变式1】、已知向量a,b的夹角为23，且|a|=4，|b|=2，|a-c|=|b-c|=|c|，若c=xa+yb，则x+y=136.6、【2013学年第一学期月考宁海县正学中学文17】已知a，b为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()c+a=c+b()R，则|c|的最小值为BOAC解答：如图，由已知111cba，设aOA，bOB，cOC，则点C在直线AB上，得cOC有最小值22.7、【2012年稽阳联考15】A，B，P是直线l上不同的三点，点O在直线l外，若(23),()OPmAPmOBmR，则||||PBPA=2。解答：8、【2013杭二中高三适应考理17】如图，在直角梯形ABCD中，ADAB，AB∥DC，1ADDC，2AB，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设APADAB（，R），则取值范围是.EABDCP解答：设APBDE，AEm，APn，则nnAPAExAByACmm，其中1xy，得255512255knkm，k表示点P到BC边的距离，250,5k，得所求取值范围是1,2.9、已知等差数列na的前n项和为nS,若,20092OCaOBaOA且A,B,C三点共线(该直线不过点O),则2010S等于（D）A．2010B．2008C．1010D．100510、已知等差数列na的前n项和为nS，若22013,OAaOBaOC且A,B,C三点共线（该直线不过点O），则2014S等于（D）A.2014B.2012C.1012D.100711、如图,在扇形OAB中,60AOB,C为弧AB上的一个动点.若OCxOAyOB，则3xy的取值范围是[1,3]．EDOCAB解答：如图，在OB上取一点D，使OB=3OD，设OCADE，OEm，ECn，则有11mnmnOCOExOAyODmm，其中111xy，另有3OCxOAyOBxOAyOD，得31mnnxymm，易知当点C和点A重合时nm达最小值0，当点C和点B重合时nm达最大值2，故31,3xy.12、如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD＝3，点P为△BCD内（含边界）的动点，设(,)OPOCODR，则的最大值等于4313、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若两定点,AB满足2OBOAOBOA，则点集R,,2,|OBOAOPP所表示的区域的面积是316.14、若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足CACBCM2131，则MBMA（C）A.98B.913C.98D.91315、若等边ABC的边长为32，平面内一点M满足CACBCM3261，则MBMA-2．16、若M为ABC内一点，且满足3144AMABAC，则ABM与ABC的面积之比为1:4．17、设O是ABC的外心，AOxAByAC，4AB，6AC，1212xy，则ABAC=418、已知O为△ABC的外心，210||,16||ACAB，若ACyABxAO，且32x+25y=25，则OA=10.19、已知是单位圆上的两点，为圆心，且0120，是圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（C）A．1[,1)2B．[1,1)C．3[,0)4D．[1,0)20、已知圆O的半径为2，AB、是圆上两点且AOB23，MN是一条直径，点C在圆内且满足(1)OCOAOB(01)，则CMCN的最小值为（C）A．－2B．－1C．－3D．－4AB、OAOBMNOC(1)OCOAOB(01)CMCN21、已知(0,0)O，(cos,sin)A，(cos,sin)B，(cos,sin)C，若(2)0kOAkOBOC，(02)k，则cos()的最大值是．22、【2014稽阳联谊理16】在ABC中，90BAC，以AB为一边向ABC外作等边ABD,若2BCDACD，ADABAC,则=.E150°-3θmmm90°-θD'θ2θθDCBA解：如图，设点D关于AC的对称点为'D，且'DD交AC于点E.设DCA，则2,'90,1503,BCDCDDCBD在',DCDBCD中利用正弦定理得'sin(1503)sin2sin2sin(90)CDBDDDCD从而得sin(1503)sin(90)，从而150390或150390180从而得15.显然13,22DEAEABAC,故132.23、已知ABC中，AB=4，AC=2，若22ABAC的最小值是2，则对于ABC内一点P，PAPBPC的最小值是______.GFCEDABP解：22121ABACABACABAD的最小值是2，设1AEABAD，则点E在直线AD上，AB=4，AC=2，AD=4，故当AE长度最小为2时，E为BD中点，AEBD，得120BAC，取BC中点F，连结AF，取AF中点G，则有：222212222PAPBPCPAPFPGGAPGAF当点P与点G重合时，有最小值22113282AFABAC.1、ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3450OAOBOC，则OCAB=___.解：345OAOBOC，两边平方得0OAOB.故3411155555OCABOAOBOBOAOAOB.2、在ABC中，AC=2，BC=6，O是ABC内一点，且340OAOBOC，则2OCBABC=_______.解法1：设3,0B，3,0C，,Axy，则由AC=2得2234xy，由340OAOBOC得3,88xyO，得21,88xyOC，215,BABCxy，故2222115163152888xxxxyOCBABCy223324408xy.OEDCBA解法2：如图，取AC中点D，取BC中点E，343260OAOBOCOAOCOBOCODOE，故31314488OCCECDCBCA，223BABCBCCABCCACB，得22129408OCBABCCACB.