分段函数专题练习

1、了解分数函数的定义；2、学会求分段函数定义域、解析式、值域；3、学会运用函数图象来研究分段函数；4、学会判定分段函数的奇偶性、单调性；学习目标：一、分段函数的定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；1(0)(0)||1(0)(0)(,)xxxyyxxxx例如，，是定义在的分段函数；224(1)(,1)[1,)4(1)xxxyxxx是定义在上的分段函数；试着画出它们的图像(0)||(0)xxyxxx[0,)定义域：值域：R图像：224(1)4(1)xxxyxxx(,1)[1,)定义域：值域：R图像：2、分段函数定义域：各段自变量取值范围的的并集，其值域是各段函数值取值范围的并集;3、分段函数图象依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象.1、分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；书写时用花括号把各段函数写在一起，并注明各段函数的自变量x的取值范围。注意：你能自己构造一个分段函数吗？23,01()4,25,2xxfxxxxx判断是函数吗？为什么？(0,1]x不是函数，因为当时，对应两个表达式.构造分段函数，解析式自由，但区间不能有重复。二、求值、与解不等式：22(02)33()(),(()).(2)22xxyfxfffxx已知求例1：3[237()(2,),22349(())24fff答案：0,2],所以带入第一个解析式得，再带入第二个解析式得，25(5)()(2)(5)(8)().xxxyfxfxxf已知，则例2：765,()(2)xfxfx注意：当时用途！,()xRfx有了这个式子，都能算出值，不求出数值，誓不罢休！求分段函数的值，要先弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式求值，“由内到外”逐一求值。小结：()3fx22(1)()(12)2(2)xxfxxxxx在函数中，若则x的值为。3例3：1,x解：若2,x若3x综上，23,1xx则有得（舍）2333xxx则，得或（舍）323,.2xx则（舍）12,x若已知分段函数的函数值，求对应自变量的值，采取分类的方法，利用已知分段函数，把所求等式化为分段的几个等式，然后取解的并集。小结：“分类”是为了确定解析式！100221,0(),()1,(),0xxfxfxxxx若则的取值范围(,1)(1,)例4：00,x解：若120000,11(,1)(1,)xxx若则，得综上，00211,1xx则1,0()1,0(1)(1)1xxfxxxxxfx设函数，则不等式的解集为()(,21]例5：10(1)2xfxx解：(1)若，则，10,(1)(2)1,xxxx10(1)(1)110,121,(1)1,(,21]xfxxxxxxxxxx(2)若，则，原不等式化为：，所以有解得，综上，(1)(2)1xxx原不等式化为：，所以有1,x解得，已知分段函数的取值范围，求对应自变量的范围，采取分类的方法，利用已知分段函数，把所求不等式化为分段的几个不等式，然后取不等式解集的并集。小结：三、解析式：2()22,[,1]()()fxxxxttgtgt设函数的最小值为，求的解析式。例1：22222()(1)1,111,0,()[,1]()(1)111,01,()[,1]()(1)11,()[,1]()()221,0,()1,01,22,1fxxxttfxttgtftttttfxttgtftfxttgtftttttgttttt解：对称轴为直线，当时即是的减函数，当即在不单调，当是的增函数，综上，闭区间上二次函数的值域，一定要讨论对称轴与闭区间的关系！12()0()log()fxxfxxxfx已知函数是偶函数，当时，有，求的解析式。例3：0,x解：设x求那个区间的解析式，就把设在那个区间上。121212()()()log(),log(),0,()log(),0,fxfxfxxxxxxfxxxx是偶函数，综上，120,()log(),xfxxx则例4：某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象.126,02,12,23,244,36,ttSttt解：甲乙两地相距千米，由题意得，分段函数的求法：分别求出定义域内各段对应的解析式，再组合在一起，要注意各区间的点要“不重不漏”小结：四、值域：23,03,015,1xxyxxxx已知，求它的最大值。例1：0,3,01,34,1,44xyxyxy解：当时当时当时，综上，最大值为2()|2|1()fxxxfx已知，求的值域。例2：223,2,()1,2,xxxfxxxx解：去绝对值得，2,()3,32,(),434xfxxfx当时当时综上，值域为[,+)求值域，含绝对值的，要先去掉绝对值！(选做)min{,,},,()min{2,2,10}()xabcabcfxxxfx若表示三个数中的最小值，设，则最大值为()例3：6由图像可知(选做)求分段函数的最值：①先分别求出每个区间上的最值，然后通过比较取其中最大(最小)②数形结合法作出函数的图象，观察即得。小结：四、奇偶性：(1)11yxx(2)11yxx例1：判断下列函数的奇偶性：(3)||yxx,()|1||1||(1)||(1)||1||1|()()Rfxxxxxxxfxfx解：定义域：故，为偶函数。绝对值函数判断奇、偶性时，一般不需要把绝对值号打开；求最值时，要把绝对值号打开。奇奇2,1,()0,||1,2,1xxfxxxx判断的奇偶性。R解：定义域为：；例2：奇偶性，分段函数、分段判断！1,()2,1,()2()xfxxxfxxfx当时||1,()()0xfxfx当时1,()2,1,()2(),xfxxxfxxfx当时R()()()xfxfxfxR综上，对任意的，都有，故，是上的偶函数。五、单调性：2224,0()(2)()4,0xxxfxfafaxxxa设函数，若，则的取值范围是()例1：(2,1)解：由图象知，()fxR是上的增函数。22(2)(),2,21fafaaaa解得，(都选做)例2：1(3),1(),()(,)2log,1aaxaxfxfxxxa设函数且是上的增函数，求的取值范围。(),fxR解：在上是增函数则各段的解析式也为增，1,x且在区间的分界点上有1(3)1log10,2aaa30,1,1(3)10223aaaaa从而，解得：六、分段函数与绝对值：1233yxxx作出,的图像并求值域。例1：零点分段法1,2分析：绝对值中式子的零点为：。(3,2],(2,1],(1,3).这两个零点把定义域分成三段：32,10,20,1221xxxyxxx当时有从而，21,10,20,12313,10,20,1221xxxyxxxxxyxxx当时有从而，当时有从而，21,32,3,21,21,13,xxyxxx综上，22||3yxx设函数，(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调递增区间、值域。例2：图像()|21||4|(1)()(2)()2fxxxfxfx设函数，求的最小值；求不等式的解集。min19(1),225(2)(,7)(,)3xf例3：(选做)21(),4,()(),(log3)2(1),4,xxfxfxffxx设函数满足则()练习1:124(练习题都“选做”)2log(4),0,R()(),(1)(2),0,(3)xxfxfxfxfxxf定义在上的函数满足则()练习2:2练习3:1,0,()1,0,(2)(2)5xfxxxxfx已知函数求不等式的解集。3(,]22,0,(),(4)(0),(2)22,0,()xbxcxfxfffxxfxx设函数若，则关于的方程的解的个数为()练习4：323()0()4()fxRxfxxxfx已知函数是定义在上的奇函数，当时，有，求的解析式。练习5：23234,0,()0,0,4,0,xxxfxxxxx2()11()(1)11()fxxxfxxxfx设函数的图像关于直线对称，当时，则当时，()2(3)1x练习6：,,|1||1|,,,xxyxymmmmyxy设若则的取值范围是()12m练习7：2()1222,[2,2]()()fxaaxxxgaga设函数的最小值为，求的解析式。练习8：