数列专题复习教案

第1页共8页年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名授课教师：授课时间：数列专题复习题型一：等差、等比数列的基本运算例1、已知数列}{na是等比数列，且4622aaa，则53aa()A．1B．2C．4D．8例2、在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=()A.58B.88C.143D.176变式1、等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为()A.1B.2C.3D.4专题数列专题复习目标数列的通项公式、数列的求和重难点数列的求和常考点数列求通项公式、求和等差数列等比数列定义公差（比）通项na前n项和nS中项qpnm第2页共8页2、若等比数列na满足2412aa，则2135aaa.3、已知{}na为等差数列，且13248,12,aaaa（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）记{}na的前n项和为nS，若12,,kkaaS成等比数列，求正整数k的值。题型二：求数列的通项公式⑴.已知关系式)(1nfaann，可利用迭加法（累加法）例1：已知数列na中，)2(12,211nnaaann，求数列na的通项公式；变式已知数列{}na满足122a，12nnaan，求数列{}na的通项公式．(2).已知关系式)(1nfaann，可利用迭乘法（累积法）例2、已知数列na满足：111(2),21nnannaan，求求数列na的通项公式；变式已知数列{}na满足nnana21，11a，求数列{}na的通项公式。第3页共8页(3).构造新数列1°递推关系形如“qpaann1”，利用待定系数法求解例、已知数列na中，32,111nnaaa，求数列na的通项公式.变式已知数列na中，54,211nnaaa，求数列na的通项公式。2°递推关系形如“nnnqpaa1”两边同除1np或待定系数法求解例、已知nnnaaa32,111，求数列na的通项公式.变式已知数列na，nnnaa631，31a，求数列na的通项公式。3°递推关系形如11nnnnapaqaa（p,q0),两边同除以1nnaa例1、已知数列na中，1122nnnnaaaa1（n2),a，求数列na的通项公式.变式数列na中，)(42,211Nnaaaannn，求数列na的通项公式.第4页共8页d、给出关于nS和ma的关系（1nnnSSa）例1、设数列na的前n项和为nS，已知)(3,11NnSaaannn，设nnnSb3，求数列nb的通项公式．变式设nS是数列na的前n项和，11a，)2(212nSaSnnn.⑴求na的通项；⑵设12nSbnn，求数列nb的前n项和nT.题型三：数列求和一、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn前n个正整数的和2)1(321nnn前n个正整数的平方和6)12)(1(3212222nnnn前n个正整数的立方和23333]2)1([321nnn例1、在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＋an＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn.第5页共8页二、错位相减法求和（重点）这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。例2、求和：132)12(7531nnxnxxxS变式已知等差数列na的通项公式nan，等比数列12,nnnbb，设nnnbaC，nS是数列nC的前n项和，求nS。三、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例3、求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…变式求数列{n(n+1)}的前n项和.第6页共8页四、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(nfnfan（2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（3）111)1(1nnnnan（4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan(6)nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则例4求数列,11,,321,211nn的前n项和.变式1、在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.2、已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列1bnbn＋1的前n项和Sn＝________.题型四：等差、等比数列的判定第7页共8页例1、已知nS为等差数列na的前n项和，)(NnnSbnn.求证：数列nb是等差数列.变式：已知公比为3的等比数列nb与数列na满足*,3Nnbnan，且11a，证明na是等差数列。例2、设{an}是等差数列，bn＝na21，求证：数列{bn}是等比数列；变式1、数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；2、已知nS为数列na的前n项和，11a，24nnaS，数列nb，nnnaab21，求证：nb是等比数列；课后作业：1、已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a2n＋n－4(n∈N*)．第8页共8页(1)求证：数列{an}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式。2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列1anan＋1的前n项和nT。4、已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n，数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求数列{bn}的通项公式bn；(3)若cn＝an·bnn，求数列{cn}的前n项和Tn.