电路 相量法

重点：正弦量的三要素、相位差正弦量的相量表示电路定律的相量表示形式相量图第八章相量法一、正弦量：按正弦规律变化的电压或电流。瞬时值表达式：i(t)=Imcos(wt+)i+_u波形：iwtOT二、正弦量的三要素：(1)幅值(amplitude)(振幅、最大值)ImIm反映正弦量变化幅度的大小。8.1正弦量的基本概念(2)角频率(angularfrequency)wTfw22单位：rad/s，弧度/秒iwtOTi(t)=Imcos(wt+)wt+称为正弦量的相位或相角。w：正弦量的相位随时间变化的角速度。dttdi)(ww反映正弦量变化的快慢。频率f：每秒重复变化的次数。周期T：重复变化一次所需的时间。单位：Hz，赫(兹)单位：s，秒w2T(3)初相位(initialphaseangle)(wt+)大小决定该时刻正弦量的值。当t=0时，相位角(wt+)=，故称为初相位角，简称初相位。i(t)=Imcos(wt+)iwtOT反映了正弦量的计时起点。同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。tiO=0=/2=-/2一般规定：||。对于一个正弦量来说，初相可以任意指定，但对于一个电路中有许多相关的正弦量，它们只能相对于一个共同的计时起点来确定每个正弦量的初相。=三、同频率正弦量的相位差(phasedifference)设u(t)=Umcos(wt+u),i(t)=Imcos(wt+i)则相位差即相位角之差：=(wt+u)-(wt+i)=u-i0，u领先(超前)i，或i落后(滞后)u(u先到达最大值)；0，i领先(超前)u，或u落后(滞后)i(i先到达最大值)。恰好等于初相位之差uiwtu,iuiOu0i0=0，同相：=(180o)，反相：规定：||(180°)。特殊相位关系：wtu,iuiOwtu,iuiO=/2：u领先i于/2,不说u落后i于3/2；i落后u于/2,不说i领先u于3/2。wtu,iuiO同样可比较两个电压或两个电流的相位差。周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。电流有效值定义为：瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。物理意义：周期性电流i流过电阻R，在一周期T内吸收的电能，等于一直流电流I流过R,在时间T内吸收的电能，则称电流I为周期性电流i的有效值。有效值也称均方根值(root-meen-square，简记为rms。)1.周期电流、电压有效值(effectivevalue)定义TttiTI02defd)(18.2周期性电流、电压的有效值W2=I2RTRi(t)RI同样，可定义电压有效值：TtRtiW021d)(TtRtiRTI022d)(TttiTI02d)(1TttuTU02defd)(12.正弦电流、电压的有效值设i(t)=Imcos(wt+)ttITITd)(cos1022mwTtttttTTT2121d2)(2cos1d)(cos0002wwIIIITITI2707.0221mmm2m)cos(2)cos()(mwwtItItiTttiTI02defd)(1同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：UUUU221mm或若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；U=380V，Um537V。工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。*注意区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。I,I,im1.复数A表示形式：FbReImaOF=a+jbFbReImaO|F|)sin(cos||||jFeFj一、复数及运算jbajbaF||FF||||FeFFj1j8.3正弦量的相量表示两种表示法的关系：F=a+jbF=|F|ej=|F|直角坐标表示极坐标表示abθbaFarctg||22或sin||cos||FbFa2.复数运算则F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算——直角坐标若F1=a1+jb1，F2=a2+jb2F1F2ReImO加减法可用图解法。FbReImaO|F|F1+F2F1-F2(2)乘除运算——极坐标若F1=|F1|1，若F2=|F2|22121)j(212j2j1221121||||e||||e||e||||||211θθFFFFFFθFθFFFθθθθ除法：模相除，角相减。例1.乘法：模相乘，角相加。则:2121)(2121212121FFeFFeFeFFFjjj?2510475)226.4063.9()657.341.3(2510475jj569.047.12j61.248.12解:例2.?5j20j6)(4j9)(1735220(3)旋转因子：复数ej=cos+jsin=1∠F•ej相当于F逆时针旋转一个角度，而模不变。故把ej称为旋转因子。解：上式2.126j2.18004.1462.203.56211.79.2724.1916.70728.62.126j2.180329.6j238.22.126j2.180365.2255.132j5.182jjej2sin2cos,22jjej)2sin()2cos(,221)sin()cos(,jejej/2=j,e-j/2=-j,ej=–1故+j,–j,-1都可以看成旋转因子。几种不同值时的旋转因子：ReIm0IIjIjI两个正弦量i1+i2i3123无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。角频率：有效值：初相位：二、正弦量的相量表示)cos(2111wtIi)cos(2222wtIii1i2wtu,ii1i2Oi3于是想到复数，复数向量也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。1.正弦量的相量表示选一个复函数)(2)(ωtjIetF没有物理意义若对F(t)取实部：是一个正弦量，有物理意义。)cos(2)](Re[ωtItF对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复指数函数：)(2)](Re[)cos(2wwtjIetFtIi)sin(2)cos(2wwtIjtIF(t)包含了三要素：I、、w，复常数包含了I,。F(t)还可以写成tjjeIetFw2)(复常数tjeIw2)cos(2)(wIItIti称为正弦量i(t)对应的相量。II正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正弦量的联系)，同时也改用“相量”，而不用“向量”，是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。)cos(2)(wUUtUtu同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知例1.试用相量表示i,u.)V6014311.1cos(3A)30314cos(4.141ootuti解：V60220A30100ooUI相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：IItωIti)cos(2)(θUUθtUtu)cos(2)(wUI例2.试写出电流的瞬时值表达式。解：A)15314cos(250ti.50HzA,1550fI已知我们用旋转向量和一个正弦量对应看看它的几何意义：ejwt为一模为1、幅角为wt的相量。随t的增加，模不变，而幅角与t成正比，可视其为一旋转相量，当t从0~T时，相量旋转一周回到初始位置，wt从0~2。。电流投影即为正弦其旋转一周在实轴上的的旋转相量为初始角度是模为)cos(2,,22ee2e2)(wwwwtIiIIeIItjtjjtjtiO+1+jOφI2w2.相量运算(1)同频率正弦量相加减故同频的正弦量的加减运算就变成对应的相量的加减运算。i1i2=i3321III)2Re()cos(2)()2Re()cos(2)(22221111tjtjeUtUtueUtUtuwwww))(2Re()22Re()2Re()2Re()()()(21212121tjtjtjtjtjeUUeUeUeUeUtututuU21UUU可得其相量关系为：例．V)60314cos(24)(V)30314cos(26)(o21ttuttu同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。V604V306o2o1UUV)9.41314cos(264.9)()()(o21ttututu60430621UUUReIm301U9.41UReIm9.41301U602UU首尾相接46.32319.5jj46.619.7jV9.4164.9o602U2.正弦量的微分)cos(2iiIItIiw)2cos(2)sin(2)cos(2wwiiitItItIdtddtdiIjIdtdiiww)2(微分运算:IjdtdiIiwIjdtidnnn)()()(w3.正弦量的积分)cos(2iiIItIiw)2cos(2)sin(2)dcos(2dwwwiiitωItωIttItiwwjIIidti)2(积分运算:wjIidtIinjIni）（重积分的w4.相量法的应用求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解)例)cos()(mutUtuw一阶常系数线性微分方程自由分量(齐次方程解)：Ae-R/Lt强制分量(特解)：Imcos(wt+i))cos()()cos()cos()cos(22mmmmθtLRItLItRItUiiiuwwwwwwRi(t)u(t)L+-22mm22mm)(LωRUILRIU2w)()()(dttdiLtRitu解:用相量法求：)cos(2222RLarctgtLωRUiuwwttiLtRitud)(d)()(ILjIRUw)cos(2222RLarctgtLωRUiuww22)(LωRRwLRi(t)u(t)L+-取相量LjRUIwRLarctgLωRUuw222RLarctgiuw小结①正弦量相量时域频域②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。③相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。N线性N线性w1w2非线性w不适用正弦波形图相量图一、电阻时域形式：相量形式：iRiRIUII相量模型)cos(2)(itItiw已知)cos(2)()(iRtRItRituw则uR(t)i(t)R+-有效值关系：UR=RI相位关系u=i(u,i同相)R+-RUIU