哈密顿原理的推导

3.Hamilton原理(1)变分的概念微分：设有一连续函数q=q(t)，其中t为自变量，q为因变量；当t有微增量dt时，引起函数的微增量dq，称为该函数的微分，且：或:dttqdq)('dtdqtq)('q=q(t)+εη(t)t+dtotdqpdt,pδqqtq=q(t)变分：假设自变量t不变，改变函数q=q(t)的形式，得到一个与原函数稍有差别的新函数式中：是一个微小系数，是t的任意连续函数。则：对于自变量的某一指定值，函数q=q(t)由于它的形式的微小改变而得到的改变量，称为该函数的变分。从图中可看出，实际上代表了虚位移。)()(~ttqq)(tqq=q(t)+εη(t)t+dtotdqpdt,pδqqtq=q(t)(2)变分与微分的区别变分：自变量不变，仅由于函数本身形式的微小改变而得到的函数的改变；微分：由于自变量的微增量而引起的函数的微增量。q=q(t)+εη(t)t+dtotdqpdt,pδqqtq=q(t)(3)变分的运算性质：(a)任一连续函数q=q(t)的变分与微分可以交换：即(b)在积分的上、下限不变的条件下，函数对自变量的积分的变分，等于该函数的变分对该自变量的积分。即：如果在函数q=q(t)中的自变量t是时间，则该函数的变分称为等时变分。)()(qdtddtdq2121ttttqdtqdt(2)Hamilton原理：a)作用：提出了质点系的真实运动与在质点系真实运动邻近，且为约束所能允许的可能运动的区分准则。①研究对象：具有k个自由度的理想、完整约束下的质点系的运动②广义坐标：q1，q2，……qk③质点系的位置：1)若在平面上运动的质点，其坐标可选x,y，若再考虑时间，则有3个坐标，2)一般地，用由q和t组成的(k+1)维空间内的一点的运动表示，若在某一瞬时t，q1，q2，……qk均有确定的值，则可在(k+1)维空间中找到一个点，该点表示一质点在t时的位置A(k+1)维空间BM(q,t)jδq,M(q+δq,t)jjj④质点系的真实运动：如上图中(k+1)维空间中的实曲线表示；称为质点系的真实路径，又叫正路。AMBAMBA(k+1)维空间BM(q,t)jδq,M(q+δq,t)jjj⑤质点系的可能运动：质点系在真实运动邻近为约束所允许的任意一个可能运动，用表示。称为质点系的可能路径，或旁路(弯路)。运动始末位置上，正路和弯路的位置相同(显然，可能运动的曲线有无数条)。BAM'BAM'A(k+1)维空间BM(q,t)jδq,M(q+δq,t)jjj⑥虚位移(变分)：表示在同一瞬时，旁路对正路的偏离。'MMjqA(k+1)维空间BM(q,t)jδq,M(q+δq,t)jjjb)哈密顿原理的推导：非定常约束的概念：即约束可随t变化，是t的函数一、拉格朗日方程——以广义坐标表示的动力学普遍方程设有一理想、完整约束的非自由质点系，具有k个自由度，用k个广义坐标q1，q2，…，qk表示质点系的位置，作一直角坐标系oxyz，用矢径ri(xi,yi,zi)表示质点系中任一质点Mi的位置，显然，如果约束是非定常的，则矢径ri是广义坐标和时间的矢量函数：n为质点的数目，为了将质点系中质点Mi的虚位移δri表示为广义坐标的变分，求(1)式的变分：),2,1(),,,,(21nitqqqkiirr),,2,1(kjqj),,2,1(1niqqkjjjiirr(1)将其展开后得：(2)(2)式中第一项表示主动力系在质点系虚位移中的元功的和，可以写为广义坐标的形式为：(3)(3)式中，Qj为对应于广义坐标qj的广义力。011ininiiiiimrarFjnikjjiiqQ11rF已知动力学普遍方程为：0)(1iniiiiramF(2)式中左边第二项表示惯性力系在质点系虚位移中元功的和，将(1)式代入(2)式中的左边第二项得：(4)kjnijjiiijkjjiiininiiiiqqmqqmm11111rararajiiijiiijiiiqdtdmqmdtdqmrrrrra为简化(4)式括号中的式子，可将其改写为：(5)为推导拉氏方程，先证明与之间的两个关系式:(1)(6)称为广义速度，为广义坐标对时间的变化率，因和仅是广义坐标和时间的函数，与广义速度无关，jiqrjiqdtdr),,,((211tqqqqtiikjjjiiirrrrrtirjiqrjqjq将(6)式对广义速度求偏导数，可得关系式：(7)jijiqqrrjq),,,((211tqqqqtiikjjjiiirrrrr(6)将(6)式对任一广义坐标qα求偏导数得：kjjjiiiqqqtqq122rrr),,,((211tqqqqtiikjjjiiirrrrr(6)另一方面，直接由矢径对某一广义坐标求偏导数后，再对时间t求导数，得：由此，可得另外一个关系式：(8)irqkjjjiiiqqqtqqdtd122rrrjijiqdtdqrrkjjjiiiqqqtqq122rrr将(7)式和(8)式代入(5)式中得：2222iijiijjiiijiiijirmqrmqdtdqmqmdtdqmrrrrrajijiqqrrjijiqdtdqrr(7)(8)jiiijiiijiiiqdtdmqmdtdqmrrrrra(5)将此结果代回式(4)，并引入质点系动能niiirmT122jkjjjiniiiqqTqTdtdm11ra得:(9)kjnijjiiininijkjjiiiiiiqqmqqmm11111rarara(4)2222iijiijjirmqrmqdtdqmra将此结果代入(2)式中得：(10a)当主动力有势力时：代入(10a)式中得：01jkjjjjqQqTqTdtdjjqVQ01jkjjjjqqVqTqTdtd011ininiiiiimrarF(2)jnikjjiiqQ11rF(3)引入拉格朗日函数L=T-V(质点系动能与势能之差，称为动势)，则上式可表示为：(11a)01kjjjjjqqLqqLdtd01jkjjjjqqVqTqTdtd广义力：代入(11a)式中，而拉格朗日函数L=T-V(质点系的动能与势能之差又称为动势)(11a)式又可以写为：(11b)将(11b)式乘以dt，并从t1到t2作定积分，有：(12)jjqVQ001jkjjjjjqVqqLqqLdtd2101ttkjjjjjdtqqLqqLdtd因为：(13)故(12)式中第一项为(14)jjjjjjqdtdqLqqLdtdqqLdtdjjjjjjqqLqqLdtdqqLdtd2101ttkjjjjjdtqqLqqLdtd(12)代入(12)式中得：(15)或：(16)拉格朗日函数，所以L的一阶变分为：(17)2110ttkjjjjjjjdtqqLqqLqqLdtd212111ttkjttkjjjjjjjdtqqLqqLqqLd),,;,,,;(2121kkqqqqqqtLLkjjjjjqqLqqLL1代入(16)式，并将等式的左端进行积分后得：(18)根据题设，在t1和t2时刻，系统的真实运动曲线与可能运动曲线都分别通过A点和B点，即：，因此21211ttttkjjjLdtqqL021ttjq0211ttkjjjqqL所以(18)式成为了：(19)改变积分和变分的次序，有：(20)令积分：，并称S为哈密顿作用量，即：(21)(20)和(21)式称为哈密顿原理的数学表达式。021ttLdt021ttLdtSLdttt210S哈密顿原理可表叙述为：具有完整的理想约束保守系统，在该时间间隔内具有相同的始终位置的可能运动相比，对于真实运动哈密顿作用量有极值。即：对于真实运动，哈密顿作用量的变分等于0。式(20)和(21)仅仅适用于保守系统，将L=T-V代入该式则得：对于非保守系统：式(20)或(21)中还应包括作用于体系上的非保守力(包括阻尼力及任一外荷)所作的功，即：(为由非保守力决定的广义力)0)()(212121ttttttdtVTdtVTLdtjrjncqQW1''jQ(1-4)式中：T——体系的总动能；V——体系的位能，包括应变能及任何保守外力的势能；Wnc——作用于体系上的非保守力(包括阻尼力及任一外荷)所作的功；——在指定时间区间内所取的变分0)(2121dtWdtVTttnctt非保守系统的哈密顿原理的数学表达式为：应用该原理可以直接导出任何给定体系的运动方程。⑧该方法与虚功方法的(不同)区别应用哈密顿原理推导体系的运动方程，不明显使用惯性力和弹性力，而分别被动能和位能的变分项所代替。优点：它只与纯粹的标量——能量有关虚功法中：功本身是标量，但计算功的力和位移都是矢量。⑨Hamilton原理在静力学中的应用应用于静力学中时，式(1-4)中的动能项消失，剩余的项是不随时间变化的，于是方程简化为：(1-5)广泛应用于静力分析中的，著名的最小位能原理0)(ncWV