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课时作业(二十一)A[2.5第3课时直角三角形的性质]一、选择题1．2018·商南县期末如图K－21－1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为()A．28B．20C．14D．18图K－21－12．2017·大庆如图K－21－2，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，在△BCD中，∠DBC＝90°，∠BCD＝60°，DC的中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为()图K－21－2A．30°B．15°C．45°D．25°二、填空题3．2018·常熟月考在Rt△ABC中，斜边上的中线和高分别为6和5，则△ABC的面积为________．4．2018·丹阳校级模拟如图K－21－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.若E为BD的中点，CE＝3，则BE＝________，AD＝________．图K－21－35．2018·汉江区期中如图K－21－4，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点．若∠B＝40°，则∠EPF的度数为________°.图K－21－4三、解答题6．2018·海淀区一模如图K－21－5，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接CD，过点B作CD的平行线EF.求证：BC平分∠ABF.图K－21－57．如图K－21－6所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.求证：BF＝2CF.图K－21－62018·无锡期中如图K－21－7①，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．(1)求证：MN⊥DE.(2)连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想．(3)当∠BAC变为钝角时，如图②，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由．图K－21－7详解详析【课时作业A】[课堂达标]1．[解析]C∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝12BC＝4.∵E为AC的中点，∴DE＝CE＝12AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14.2．[解析]B∵∠DBC＝90°，E为DC的中点，∴BE＝CE＝12CD.∵∠BCD＝60°，∴∠CBE＝60°.∴∠DBF＝30°.∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°.∴∠ABF＝75°.∴∠AFB＝180°－90°－75°＝15°.故选B.3．[答案]30[解析]∵Rt△ABC中，斜边上的中线为6，∴斜边长为6×2＝12.∵斜边上的高为5，∴△ABC的面积为12×5×12＝30.故答案为30.4．[答案]36[解析]∵在△DBC中，∠ACB＝90°，E为BD的中点，∴BE＝DE＝CE.∵CE＝3，∴BE＝3.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC.∵∠ABC＝90°－30°＝60°，∴∠ABD＝∠A＝30°.∴AD＝BD.又∵BD＝2BE，∴AD＝6.5．[答案]100[解析]∵CE⊥BA，∠B＝40°，∴∠BCE＝50°.∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点，∴PF＝12AC＝PC，PE＝12AC＝PC，∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，∴∠EPF＝2∠PCF＋2∠PCE＝2∠BCE＝100°.6．证明：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝12AB＝BD.∴∠ABC＝∠DCB.∵DC∥EF，∴∠CBF＝∠DCB.∴∠CBF＝∠ABC，即BC平分∠ABF.7．证明：如图，连接AF.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，∴CF＝AF(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)．∴∠FAC＝∠C＝30°(等边对等角)．∴∠BAF＝∠BAC－∠FAC＝120°－30°＝90°.在Rt△ABF中，∠B＝30°，∴BF＝2AF(在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)．∴BF＝2CF(等量代换)．[素养提升]解：(1)证明：如图，连接DM，ME.∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是BC的中点，∴DM＝12BC，ME＝12BC.∴DM＝ME.又∵N为DE的中点，∴MN⊥DE.(2)∠DME＝180°－2∠A.证明：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A.由(1)知DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD＋∠CME＝(180°－2∠ABC)＋(180°－2∠ACB)＝360°－2(∠ABC＋∠ACB)＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A.∴∠DME＝180°－2∠A.(3)结论(1)成立，结论(2)不成立．理由：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC.连接ME，DM，同理可知DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC＝2(180°－∠BAC)＝360°－2∠BAC.∴∠DME＝180°－(360°－2∠BAC)＝2∠BAC－180°.