山东城建职业学院工程数学电子教案

山东城建职业学院工程数学电子教案第4章不定积分（14学时）内容：原函数和不定积分的概念，不定积分的性质。基本积分公式，简单不定式积分的计算。换元积分法和分部积分法。要求：理解不定积分的概念和几何意义。掌握不定积的基本性质。熟练掌握基本积分公式，并能用于简单的不定积分的计算。熟练掌握第一换元积分法（凑微分法）和分部积分法计算不定积分，掌握第二换元积分法（简单根式代换和三角代换）计算不定积分。重点与难点：重点是不定积分的概念。基本积分公式。第一换元积分法和分部积分法，并能用于不定积分。难点是不定积公的概念与求不定积分的方法。第一节不定积分的概念与性质教学目的：使学生了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质。教学重点：原函数与不定积分的概念。教学难点：原函数的求法。教学内容：一、原函数与不定积分定义1如果对任一，都有Ix∈)()(xfxF=′或dxxfxdF)()(=则称为在区间I上的原函数。)(xF)(xf例如：，即是xxcos)(sin=′xsinxcos的原函数。2211)1ln([xxx+=′++，即)1ln(2xx++是211x+的原函数。原函数存在定理：如果函数在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数，使得对任一，有)(xf)x)(xFIx∈()(fxF=′。第1页共18页山东城建职业学院工程数学电子教案即连续函数一定有原函数注1：如果有一个原函数，则就有无穷多个原函数。)(xf)(xf设是的原函数，则)(xF)(xf)(])([xfCxF=′+，即CxF+)(也为的原函数，其中为任意常数。)(xfC注2：如果与都为在区间I上的原函数，则与之差为常数，即)(xF)(xG)(xf)(xF)(xGCxGxF=−)()(（C为常数）注3：如果为在区间I上的一个原函数，则)(xF)(xfCxF+)(（C为任意常数）可表达的任意一个原函数。)(xf定义2在区间I上，的全体原函数，称为在区间I上的不定积分，记为。)(xf)(xf∫dxxf)(其中称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量。∫)(xfdxxf)(如果为的一个原函数，则+C就是的不定积分，即)(xF)(xf)(xF)(xf，（为任意常数）CxFdxxf+=∫)()(C由原函数与不定积分的概念可得：1)∫=)()(xfdxxfdxd2)dxxfdxxfd∫=)()(3)∫+=′CxFdxxF)()(4)CxFxdF+=∫)()(5)∫+=Cxdx例1．求dxx∫2因为23)3(xx=′，得∫+=Cxdxx332例2．求dxx∫1第2页共18页山东城建职业学院工程数学电子教案因为，时，0xxx1)(ln=′；0x时，xxxx1)(1])[ln(=′−−=′−，得xx1)||(ln=′，因此有∫+=Cxdxx||ln1二、不定积分的几何意义一般的，函数的原函数的图形，称为函数的积分曲线。不定积分)(xf)(xF)(xfdxxf∫)(的图形是一族积分曲线，这族曲线可由一条积分曲线)(xFy=经上下平行移动得到。这族曲线中的每一条曲线的横坐标为x的点处的切线斜率都是。)(xf例3已知某曲线上任一点处的切线斜率为),(yxx3，且该曲线经过点（1，1），求该曲线的方程。解按不定积分的几何意义可知，所求曲线为函数x3的通过点（1，1）的那条积分曲线，为求其方程，先求出x3的不定积分。由='23)2(xx3，得Cxdxx+=∫2323，故必有某个常数C，使所求曲线方程为Cxy+=232。由于曲线通过点（1，1），故有1＝2＋C，得C＝－1。因此所求曲线方程为1223−=xy三、基本积分公式1)∫=Cdx02)∫++=+Cxdxx11μμμ(1−≠μ)3)∫+=Cxxdx||ln4)∫+=Caadxaxxln∫+=Cedxexx5)∫+=Cxxdxsincos6)∫+−=Cxxdxcossin第3页共18页山东城建职业学院工程数学电子教案7)∫∫+==Cxxdxxdxtanseccos228)∫∫+−==Cxxdxxdxcotcscsin229)∫+−Cxxdxarcsin1210)∫++Cxxdxarctan1211)∫+=Cxxdxxsectansec12)∫+−=Cxxdxxcsccotcsc例4．Cxdxxdxxx+==∫∫2725272四、不定积分的性质性质1．被积函数中的常数因子可以提到积分号外面去，即∫∫=dxxfkdxxkf)()(（为常数，k0≠k）性质2．函数和（差）的不定积分等于各个函数的不定积分的和（差），即∫∫∫+=+dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([例4．求dxxx∫+2)1(。解dxxx∫+2)1(＝dxxxx∫++12＝dxxdxxdx∫∫∫++−12121＝Cxxx+++−⋅++−ln12112121=Cxxx+++ln4注：遇到积分项时，不需要对每个积分都加任意常数，只需待各项积分都计算完后，总的加一个任意常数就可以了。例5．求dxxxx∫++)1()21(2222解：首先把被积函数作适当的恒等变形，化成基本积分公式表中的类型，再积分。第4页共18页山东城建职业学院工程数学电子教案)1()21(2222xxx++＝)1(4412242xxxx+++＝)1()1(412222xxxx+++＝4＋)1(122xx+＝4＋)1(12222xxxx++−＝4＋22111xx+−于是dxxxx∫++)1()21(2222＝dxxx)111＋(422+−∫＝Cxxx+−−arctan14例6．求dxxxx∫+)2sin2(cos2sin解：dxxxx∫+)2sin2(cos2sin＝dxxx∫−+)2cos1sin21(＝Cxxx+−+−)sincos(21例7．求dxxxx∫22cossin2cos解：利用三角恒等式变形，再积分。xxx22cossin2cos＝xxxx2222cossinsincos−＝xxxx2222seccsccos1sin1−=−于是dxxxx∫22cossin2cos＝＝∫−dxxx)sec(csc22Cxx+−−tancot例8．求dxeexxx∫+++)3(33解：＝dxeexxx∫+++)3(33dxedxedxdxxxx∫∫∫∫+++333＝Cxeexxx++++3433ln141小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用作业：P178－5第二节换元积分法教学目的：使学生掌握不定积分的第一类换元法和第二类换元法。教学重点：不定积分的第一类换元法。教学难点：不定积分的第二类换元法。教学内容：第5页共18页山东城建职业学院工程数学电子教案一、第一类换元积分法设为的原函数，即)(uF)(uf)()(ufuF=′，∫+=CuFduuf)()(如果)(xuϕ=，且)(xϕ可微，那么根据复合函数的微分法，有)()]([)()()()()]([xxfxufxuFxFdxdϕϕϕϕϕ′=′=′′=即)]([xFϕ为)()]([xxfϕϕ′的原函数，或)()(])([])([)]([)()]([xuxuduufCuFCxFdxxxfϕϕϕϕϕ==∫∫=+=+=′因此有定理1（第一类换元积分法）设具有原函数，)(uf)(xuϕ=可导，则有换元积分公式(1))(])([)()]([xuduufdxxxfϕϕϕ=∫∫=′例1．求dxex∫33解：被积函数中，是一个复合函数，＝，xe3xe3uexu3=，常数因子3恰好是中间变量的导数。因此，作变换，便有uxu3=＝＝dxex∫33dxex∫⋅33∫)3(3xdex＝[]xuudue3=∫，利用基本积分公式，即得＝dxex∫33[]xuuCe3=+＝Cex+3例2．求dxx∫−100)21(解：被积函数，100100)21(ux=−xu21−=，这里缺少2−=dxdu这样一个因子，但因dxdu是个常数，故可改变系数凑出这个因子：＝100)21(x−'100100)21()21(21)2()21(21xxx−−−=−⋅−−，于是令，便有xu21−=＝dxx∫−100)21(dxxx∫−−−'100)21()21)(21(＝－)21()21(21100xdx−−∫＝duu∫−10021＝Cu+⋅−101101121＝－Cx+−101)21(2021第6页共18页山东城建职业学院工程数学电子教案例3．求dxx∫−241解：被积函数可改写为22)2(12141xx−=−，再凑微分)2(2xddx=，于是dxx∫−241＝∫⋅−)2(2)2(1212xdx＝Cx+2arcsin例4．求∫+dxxa221，解：∫∫∫+=+=+=+Caxaaxdaxadxaxadxxaarctan1)()(111)(111122222例5．求dxxex∫2解：=dxxex∫221)(2122=∫xdexCex+2例6．求dxeexxsin∫解：由，对照基本积分公式，得)(xxeddxe=＝dxeexxsin∫Ceedexxx+−=∫cos)(sin例7．求dxxx∫+ln1解：两次凑微分，并由基本积分，有dxxx∫+ln1＝∫+)(ln)ln1(21xdx＝∫++)ln1()ln1(21xdx＝Cx++23)ln1(32例8．求∫xdxtan解：＝∫xdxtandxxx∫cossin＝))(cos(cos1xdx−∫＝Cx+−cosln例9．求dxxx∫+21arctan解：dxxx∫+21arctan＝∫)(arctanarctanxxd＝Cx+2)(arctan21例10．求∫xdxcsc第7页共18页山东城建职业学院工程数学电子教案解：＝∫xdxcscdxx∫sin1＝∫dxxx2cos2sin21＝dxxx∫2cos2tan212＝dxxx∫2tan22sec2＝)2(tan2tan1xdx∫＝Cx+2tanln例11．求dxx∫2sin解：＝dxx∫2sinCxxxd+−=∫2cos21)2(2sin21例12．求dxxxx∫+++54122解：dxxxx∫+++54122＝dxxxx∫++−+545422＝dxxdxxxx∫∫++−+++22)2(1135442＝)2()2(11354)54(222+++−++++∫∫xdxxxxxd＝Cxxx++−++)2arctan(354ln2例13．求dxxxx∫−+233解：dxxxx∫−+233＝dxxx∫−−+−2)1(41)1(＝dxxdxxx∫∫−−+−−−22)1(41)1(41＝dxxxdxx∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+−−−−2221121)1()1(41第8页共18页山东城建职业学院工程数学电子教案＝)21()21(11)1(4)1(21222−−−+−−−∫∫xdxxxd＝[])21()21(11)1(4)1(421222−−−+−−−−−∫∫xdxxxd＝[]21arcsin)1(4)1(42122−+−−−−−∫xxxd＝Cxx+−+−−−21arcsin)1(42二、第二类换元积分法定理2设)(txψ=是单调的可导函数，且0)(≠′tψ，)()]([ttfψψ′的原函数存在，则有换元积分公式[])()()]([)(xtdtttfdxxfψψψ=∫∫′=(2)其中)(xtψ=为)(txψ=的反函数。例14．求dxx∫−+121解：基本积分公式表中没有公式可提供本题直接套用，凑微分也不容易，本题的困难在于被积函数中含有根式，如果能消去根式，就可能得以解决。为此，作变换如下：设1−=xt，则，21tx+=tdtdx2=，于是=−+∫dxx121∫⋅+tdtt221∫+−+=dttt2222Cttdttdt++−=+−=∫∫)2ln(422142Cxx+−+−−=)12ln(412通过换元，消除根号，转换为关于的积分，在对新变量t的原函数求得后，再代回原变量，得到所求的不定积分。t例15．求dxx∫−24解：设22,sin2ππ−=ttx，则2arcsinxt=，tdtdxttxcos2,cos2sin12422==−=−第9页共1