二次函数存在性问题的分类讨论

二次函数存在性问题的分类讨论一.如图，抛物线交轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点.P到轴的距离为，到轴的距离为1.点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于B.（1）求抛物线的表达式；（2）直线与抛物线在第一象限内交于点D，与轴交于点F,连接BD交轴于点E，且DE:BE=4:1.求直线的表达式；（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）∵抛物线交轴于点C，∴C（0，-3）则OC=3。∵P到轴的距离为，P到轴的距离是1，且在第三象限，∴P（-1，-）。∵C关于直线l的对称点为A，∴A（-2，-3）。将点A（-2，-3），P（-1，-）代入得，32bxaxyyx103ymxy43yymxy43mxy4323yaxbxyx103y10310323yaxbx，解得。∴抛物线的表达式为。（2）过点D做DG⊥轴于G，则∠DGE=∠BCE=90°。∵∠DEG=∠BEC，∴△DEG∽△BEC。∴。∵DE:BE=4:1，BC=1，∴,则DG=4。将=4代入，得=5。∴D（4,5）。∵过点D（4,5）,∴,则=2。∴所求直线的表达式为。（3）存在。M1，M2，M3，M4。【分析】（1）求出点A、P的坐标，用待定系数法即可求得抛物线的表达式。（2）过点D做DG⊥轴于G，由△DEG∽△BEC求出点D的坐标，代入即可求得直线的表达式。（3）存在。分三种情况讨论：①当OF和FM都为菱形的边时，∵点F在上，∴F（0，2），OF=2。设M，则FM=，由OF=FM解得。当时，，∴M1。当时，，∴M。②当OF为菱形的对角线时，MN垂直平分OF，42331033abab1323ab212333yxxyDGDEBCBEDG411x212333yxxy34yxm3544mm324yx816(,)5584(,)554(,1)34814(,)2525y34yxm34yxm324yx3,24xx22352244xxx85x85x316245x816(,)5585x34245x84(,)55∴在中令，即，解得。∴M3。③当FM为菱形的对角线时，设M，则OM=，由OF=OM得解得（舍去）。，∴M4。综上所述，M1，M2，M3，M4。二．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线的图象过点E（－1，0），并与直线相交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵一次函数交y轴于点A，∴令ｘ=0，得y=2。∴A（0，2）。∵A（0，2）、E（－1，0）是抛物线的图象上的点，324yx1y3214x43x4(,1)33,24xx22324xx223224xx4825x0x3252414x4814(,)2525816(,)5584(,)554(,1)34814(,)25251yx2321yxbxc21yx2321yxbxc2∴，解得。∴抛物线的解析式是：。（2）∵一次函数交ｘ轴于点P，∴令y=0，得ｘ=6。∴P（6，0）。∵AC⊥AB，OA⊥OP，∴△AOC∽△POA。∴。∵AO=2，PO=6，∴。∴。∴点C的坐标为。（3）存在。设除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得△MAB是直角三角形，即∠AMB=900或∠ABM=900。∵点B是直线和抛物线的交点，∴，解得。∴。①若∠AMB=900，那么点M是以AB为直径的圆与坐标轴的交点，这时点M会在x轴的正半轴上和y轴的正半轴上。若交点在y轴的正半轴上（如图），则点M的纵坐标与点B的纵坐标相等，即。若交点在x轴的正半轴上（如图），设，过点B作BD⊥x轴点D，则有△AOM∽△MDA。∴。∵AO=2，MD=，OM=m，DB=，∴，解得。∴或。c21bc023b2c2213yxx222COAOAOPOCO2262CO32,031yx23213yxx22221yx2313yxx22211x=37y9117B(,)3917M(0,)9M(m,0)AOOMMDDB11m3792m117m391165m=621165M(,0)631165M(,0)6⑵若∠ABM=900，即过B作BM⊥AP，这时M在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上。若交点在x轴的正半轴上（如图），设，过点B作BD⊥x轴于点D，则有△BDM∽△PDB。∴。∵BD=，MD=，PD=，∴，解得。∴。若交点在y轴的负半轴上（如图），设，过B作BF垂直y轴于点F，则有△ABF∽△BMF。∴。∵BF=，AF=，MF=，∴，解得。∴。M(t,0)BDPDMDBD7911t31176=337793117t3992t27492M(,0)27M(0,q)(q0)BFMFAFBF1137112997+q9117+q3911119392q9592M(0,)9