南航矩阵论第一章

教材:《矩阵论》，戴华编，科学出版社。主要参考书：1.方保镕，周继东编，矩阵论，清华大学出版社，2004.2.刘慧等，矩阵论及应用，化学工业出版，2003.3.程云鹏，矩阵论，西安工业大学出版，2000.4.罗家洪，矩阵分析引论，华南理工大学出版，2002.第2章线性映射与线性变换第1章线性空间与内积空间第3章λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形第4章矩阵的因子分解第7章矩阵函数与矩阵值函数第5章Hermite矩阵与正定矩阵第6章范数与极限第8章广义逆矩阵第1章线性空间与内积空间本章概述线性空间与内积空间的基本概念和基本理论。这些概念是通常几何空间概念的推广和抽象。在近代数学发展中，这些概念和理论已渗透到数学的各个分支。本章内容是学习本书的基础。1.1预备知识：集合·映射与数域1.2线性空间1.3基与坐标1.4线性子空间1.5线性空间的同构1.6内积空间1.1预备知识：集合·映射与数域1.1.1集合及其运算1.1.2二元关系与等价关系1.1.3映射1.1.4数域与代数运算元素a属于集合M,记作元素a不属于集合M,记作1.1.1集合1.定义及表示法定义1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作.Ma(或Ma)..Ma表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合naaaA,,,21自然数集,,,2,1,0Nn(2)描述法：指把集合中元素所具有的特征性质表示出来。xMx所具有的特征例:整数集合ZxNx或Nx有理数集qpQ,N,Zqpp与q互质实数集合Rxx为有理数或无理数机动目录上页下页返回结束是B的子集,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算BABA定义2.则称A若且则称A与B相等,.BA例如,显然有下列关系:,,若Ax,Bx设有集合,,BA记作记作必有机动目录上页下页返回结束ABAcABB定义3.给定两个集合A,B,并集xBA交集xBA且差集\xBABx且定义下列运算:余集)(\ABBABcA其中ABA\BBABA机动目录上页下页返回结束或由集合的交与并运算的定义，显然有BAABABAAAAAABABBAAAAA定理1.1.1设A、B、C是三个集合,则(1).,ABBAABBA交换律：(2).()()()()ABCABCABCABC结合律:(3).:()()()()()()ABCABACABCABAC分配律ABBA特例:RR记2R为平面上的全体点集机动目录上页下页返回结束1.1.2二元关系与等价关系定义1.1.2设A、B是两个非空集合，元素对的集合为A与B的笛卡儿积，记作，即},|),{(BbAabaBA},|),{(BbAabaBA定义1.1.3设A、B是两个集合，的子集R称为中的一个二元关系，即按某种规定，定义了一个有序对(a,b)的集合R，其中BABA,.aAbB特别地，中的二元关系简称为A上的二元关系。AA实质：二元关系是描述两个集合之间元素与元素的关系或者是一个集合内部两个元素之间的关系，它是满足某种规律的有序对全体。记为：aRb.例1：{}(B{1,2,3}AAB设甲，乙，丙，丁四个人），（三套房间），与之间是一个住宿关系。例2：A={矩阵论五班学生}。RA显然，均来自于南京的同学关系是上的一个二元关系。想一想：在该例中还存在什么关系？AB为上的一个二元关系。{(),(),(),()}RAB显然，甲，1乙，3丁，3丙，2例３：Ａ＝｛4321aaaa李兰，陈平，王兵，张华Ｂ＝｛4321bbbb遥感，自动化，硬件，软件则：Ｒ1＝｛（ａ1，ｂ1），（ａ1，ｂ3），（ａ2，ｂ2），（ａ2，ｂ4），（ａ3，ｂ3），（ａ3，ｂ4）,（ａ4，ｂ1），（ａ4，ｂ4）｝是选双学位专业的二元关系。定义1.1.4若集合A上的一个二元关系R满足（1）自反性：对任意，有aRa；（2）对称性：对任意，如果aRb，则bRa；（3）传递性：对任意，如果aRb，bRc，则aRc则称R是A上的一个等价关系。AaAba,Acba,,定义1.1.5设R是A上的一个等价关系，称为a关于R的等价类。A的所有元素关于R的等价类集合称为A关于R的商集。Aa},|{][xRaAxxa}|]{[AaaRA特点：1.同一等价类之间有关系R,而不同等价类之间无此关系。2.由对集合中各元素性质的研究转化为对一个等价类的研究，大大减少了工作量。A={矩阵论五班学生}，R:为同性别关系。例4：RR{}{}11则【男】男生，【女】女生。11/{,}.RARR【男】【女】例5：Ａ＝｛５２张扑克｝Ｒ1＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同花，ａ，ｂ是扑克｝Ｒ2＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同点，ａ，ｂ是扑克｝Ｒ1把Ａ分为四类同花类，则Ｒ2把Ａ分为１３类同点类。定义1.1.6设每个都是集合A的非空子集，如果，并且对任意，当时有，则称是A的一个分类。)(IiBiIiiBAIji,jijiBB}{iB定理1.1.2（1）集合A上的每个等价关系R都决定A的一个分类。（2）集合A的每个分类都决定A上的一个等价关系。证明（1）如果R是A上的等价关系，则A/R给出了A的一个分类。（2）如果是A的一个分类，令存在，使得则R是A上的一个等价关系。}{iB|),{(yxRiB},iiByBx定义1.1.6’若集合A上的一个二元关系R满足（1）自反性：对任意，有aRa；Aa（2）反对称性：对任意，如果aRb，且bRa，则a=b；Aba,（3）传递性：对任意，如果aRb，bRc，则aRcAcba,,则称R是A上的一个偏序关系，记为“≤”。若≤是集合A上的一个偏序关系，则称A是关于偏序关系≤的偏序集，记为（A,≤）。定义1.1.6”设（A,≤）是一个偏序集，如果对任意，总有或则称≤是集合A上的顺序关系，并称（A,≤）为序集或序空间。Aba,baab1.1.3映射1.映射的概念南航学生的集合学号的集合按一定规则查号矩阵论5班学生的集合531教室座位的集合按一定规则入座机动目录上页下页返回结束引例1.定义1.1.7设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作.:YXf元素y称为元素x在映射f下的像,记作).(xfy元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集)(XfXxxf)(称为f的值域.注意:1)映射的三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.XYf机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束1D手电筒DD映射f恒等映射（单位映射）I：.)(,:,aaIAaAAIA有的映射，对为一个非空集合设对映射若YXf)(,则称f为满射;XYf)(Xf若有则称f为单射;若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.XY机动目录上页下页返回结束设111:BAf222:BAf如果)()(,,2112121afafAaBBAA有并且对任意则称映射21ff与.21ff记为相等，逆映射与复合映射1.1.8逆映射的定义定义:设有映射若存在一新映射使习惯上计为例如,映射其逆映射为BAf1f称此映射g为f的逆映射,机动目录上页下页返回结束.1f若f有逆映射，则称f可逆.定理1.1.4设映射f:A→B是可逆的，则f的逆映射是唯一的。1f复合映射12.ff机动目录上页下页返回结束B手电筒A1fC引例.复合映射A21.ff定义1.1.9设A、B、C是三个非空集合，并设有两个映射,:,:21CBfBAf由21,ff确定A到C的映射)))(((:123Aaaffaf称为映射21ff和的乘积（复合），记为123fff)(1Af机动目录上页下页返回结束注意:构成复合映射的条件BAf)(1`不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.C定理1.1.3设有映射,:,:21CBfBAf则有,:3DCf;)()()1(123123ffffff.)2(111ffIIfBA注意：复合映射一般不满足交换律。1212(1)2(1)1(2)1(2)1{1,2}.,.{{ffffABC如设定义：21212.)(1)((1))(2)1,fffff则(而12121(.)(1)((1))(1)2,fffff2112...ffff定理1.1.5映射f:A→B是可逆映射的充分必要条件是f是A到B的双映射。证明：B-1设f:AB是可逆映射,f:A为f的逆映射.先证f是单映射。22,,()(),aAffa11对aa22()((,fffaa-1-1-1111则af(a)=f(a))=f())=f是AB单映射;b,(),Bba-1再证f是满映射。对设f则())()(),bbb-1-1f(a)=f(ffff是AB满映射，f是AB的双射。必要性（略）。定义1.1.11设A是一个非空集合，A到自身的映射称为A的变换；A到自身的双映射称为A的一一变换；如果A是有限集，A的一一变换称为A的置换。1.1.4数域与代数运算定义1.1.12设P是包含0和1在内的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域。一个数域。也是如：数集},|2{)2(QbabaQ定义1.1.13设A,B,C是三个非空集合，到C的映射称为A与B到C的一个代数运算。特别地，到C的映射称为A到C的代数运算；到A的映射称为A的代数运算或A的二元运算，也称集合A对代数运算是封闭的。BAAAAA一个代数运算是一个特殊的映射。如果有A与B到C的一个代数运算记为“”,则由定义，对任意，经过代数运算得唯一的，即:(a,b)→c，记为c=abBbAa,Cc