卫星导航时间序列的小波消噪研究

第二届中国卫星导航学术年会CSNC20111SatelliteSatelliteSatelliteSatellitenavigationnavigationnavigationnavigationtimetimetimetimesequencesequencesequencesequenceofofofofwaveletwaveletwaveletwaveletdenoisedenoisedenoisedenoiseresearchresearchresearchresearchYanYanYanYanJianhuaJianhuaJianhuaJianhua,,,,LiLiLiLiShuo,Shuo,Shuo,Shuo,HanHanHanHanChunyang,Chunyang,Chunyang,Chunyang,YangYangYangYangKai,Kai,Kai,Kai,ZhouZhouZhouZhouFengFengFengFengBeijingapplicationanddevelopmentcenterofround-the-worldinformation,Beijing,[e-mail]:Abstract:Abstract:Abstract:Mainlyintroducessatellitenavigationtimesequenceofwavelettransform.Matlabtimeseriesanalysisofwavelettransformationfunctionanditsapplication.Keywords:Keywords:Keywords:Keywords:wavelet;waveletpacket;denoise;Allanvariance;satellitenavigation卫星导航时间序列的小波消噪研究卫星导航时间序列的小波消噪研究卫星导航时间序列的小波消噪研究卫星导航时间序列的小波消噪研究闫建华，李硕，韩春阳，杨凯，周锋闫建华，李硕，韩春阳，杨凯，周锋闫建华，李硕，韩春阳，杨凯，周锋闫建华，李硕，韩春阳，杨凯，周锋北京环球信息应用开发中心，北京，中国，[e-mail]【摘要】【摘要】【摘要】【摘要】主要介绍卫星导航时间序列的小波变换和MATLAB时间序列分析中的小波变换函数及其应用。【关键词】【关键词】【关键词】【关键词】小波；小波包；去噪；allan方差；卫星导航1111小波变换简介小波变换简介小波变换简介小波变换简介小波变换较好地解决了时间分辨率和频率分辨率的矛盾，继承和发展了Gabor加窗傅立叶变换的局部化思想。小波变换的窗是可调的时频窗，在高频时使用短窗口，在低频时使用长窗口，即以不同的尺度观察数据，以不同的分辨率来分析数据，这充分体现了自适应分辨分析的思想。小波变换与时变、非平稳时间序列的特性一致。特别是小波变换经过适当离散化后，能够构成规范化的正交系，这使小波变换在时间序列分析中具有及其重要的意义。1111.1.1.1.1连续型小波变换连续型小波变换连续型小波变换连续型小波变换小波变换是一个平方可积函数()tf与一个在时频域上均具有良好局部性质的小波函数的内积：()dtabttfafbaWbaf∫∞+∞−∗⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==ψψ)(1,,,式中，∗∗,表示内积，0a为尺度因子，b为位移因子，∗表示共轭，)(,tbaψ称为小波⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=abtatbaψψ1)(,，改变a值，对函数)(,tbaψ具有伸展()1a或收缩()1a的作用；改变b，则会影响函数()tf围绕b点的分析结果。)(tψ称为母函数，)(tψ必须满足容许性条件：()∫+∞∞−=0dttψ或()∫∞+∞−∞=ΨψωωCdt2，其中，是)(tψ是()ωΨ的傅立叶变换。由此公式可以得出，)(tψ的时域波形具有“衰减性”和“波动性”，即其振幅具有正负相间的震荡；从频谱上看，()ωΨ集中在一个“小”的频带内，具有“带通性”。由()baWf,的表达式可见，小波函数)(,tbaψ的作用域STFT中的函数tjetgωτ−−)(相似，前者的位移因子b与后者的参数τ都起着平移作用。但在本质上不同的是，STFT中的参数ω的变化不改变窗口)(tg的大小和形状，在时频平面上各处的分辨率均相同；而小波变换中的尺度因子a的变化不仅改变小波的频谱结构，而且也改变其窗口的大小和形状，尺度因子a大时对应于低频端，频率分辨率高，时间分辨率低；反之，尺度因子a小时对应于高频端，频率分辨率低，时间分辨率高。这就是小波变换的多分辨率特性。参数a的伸缩和参数b的平移为连续取值的小波变换称为连续小波变换，连续小波变换主要用于理论分析方面。1111.2.2.2.2离散型小波变换离散型小波变换离散型小波变换离散型小波变换在实际应用中，需要对尺度因子a和位移因子b进行离散化处理，可以取：mmanbbaa000,==，其中nm,为整数，0a为大于1第二届中国卫星导航学术年会CSNC20112的常数，0b为大于0的常数，a和b的选取与小波)(tψ具体形式有关。则离散小波函数表示为()0000000,11)(nbtaaaanbtatmmmmmnm−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−ψψψ相应的离散小波变换表示为：()()dtttffnmWnmnmf)(,,,,∗+∞∞−•==∫ψψ特别地，当1,200==ba时，离散小波变换称为二进离散小波变换。二进离散小波变换简单、方便，在实际时间序列处理中被广泛应用。2222小波包变换小波包变换小波包变换小波包变换2222.1.1.1.1小波包的定义小波包的定义小波包的定义小波包的定义小波包是由Coifman、Meyer、Quaker和Wickerhauser(CMQW)提出的，可由两组正交小波基滤波器系数生成。如果{}Zkkh∈和{}Zkkg∈是一组共轭镜像滤波器（QMF），满足∑∈−−=Znkllnknhhδ22，∑∈=Znnh2，()Zkhgkkk∈−=−11,即可定义一系列函数(){}()L,2,1,0=ntun满足如下方程()()∑∈−=Zknknktuhtu222()()∑∈+−=Zknknktugtu2212我们把每一形式如下的函数+−−∈∈−ZnZkjktujnj,,),2(22/称作一个小波包函数，其集合{}+−−∈∈−ZnZkjktujnj,,),2(22/称为小波包库。其中j是尺度参数，k是平移参数。当0=k时，()tu0为尺度函数；()tu1为小波函数()tψ。从小波包库中选择能构成)(2RL空间的一个基函数系称为)(2RL的一个小波包基。对任意固定的j值，()(){}+−−∈∈−=ZnZkjktutwjnjn,,,222/均可构成)(2RL的一个正交基，这个正交基与短时Fourier基类似，称为子带基。当n固定，例如1=n时，()()ttuψ=1，()(){}Zkjktutwjj∈−=−−,,2212/1即为)(2RL的标准正交小波基；而当0=n时，则构成)(2RL的一个框架。在多分辨率分析中，jZjWRL∈⊕=)(2，表明多分辨率分析是按照不同的因子j把Hilbert空间)(2RL分解为所有子空间()ZjWj∈的正交和。其中，jW为小波函数()tψ的闭包（小波子空间）。现在，我们希望进一步对小波子空间jW按照二进制分式进行频率的细分，以达到提高频率分辨率的目的。2222.2.2.2.2小波包对时间序列的分解特性小波包对时间序列的分解特性小波包对时间序列的分解特性小波包对时间序列的分解特性小波分解是把时间序列S分解成低频信息1a和高频信息1d两部分。在分解中，低频1a中失去的信息由高频1d捕获。在下一层的分解中，又将1a分解成低频2a和高频2d两部分，低频2a中失去的信息由高频2d捕获，如此类推下去，可以进行更深层次的分解。小波包分解则不然，它不仅对低频部分进行分解，而且还对高频部分进行分解。因此，小波包分解是一种比小波分解更为精细的分解方法。正因为如此，小波包分解是一种更广泛应用的小波分解方法，它广泛应用于各种信号处理，包括信号的分解、解码、消噪、压缩等等。下图为小波包对一维时间序列的分解特性示意图A表示低频，D表示高频，末尾下标的序号数表示小波包分解的层数（也就是尺度数）。分解具有关系：33333333DDDADDDADAADDDAADADAAAAAS+++++++=X1,X2,X3,X4,...XnA1AA2AD2AAA3DAA3ADA3DDA3D1DA2DD2AAD3DAD3ADD3DDD3FigureFigureFigureFigure1.1.1.1.waveletwaveletwaveletwaveletpacketpacketpacketpacketforforforfortimetimetimetimeseriesseriesseriesseriesdecompositiondecompositiondecompositiondecomposition图1111小波包对时间序列的分解2222.3.3.3.3小波包算法小波包算法小波包算法小波包算法下面给出小波包的分解算法和重构算法。设()njnjUtg∈，则njg可表示为()∑−=ljnjlnjltudtg)2(,（1）小波分解算法：由{}njld,1+求{}njld2,与{}12,+njld第二届中国卫星导航学术年会CSNC20113∑∑+−++−==knjklknjlknjklknjldbddad,1212,,122,（2）小波重构算法：由{}njld2,与{}12,+njld求{}njld,1+[]∑+−−++=knjkklnjkklnjldgdhd12,22,2,13333基于小波分析的时间序列消噪基于小波分析的时间序列消噪基于小波分析的时间序列消噪基于小波分析的时间序列消噪利用小波分析能够进行一维时间序列消噪处理。使用小波分析将原始时间序列分解为一系列的近似分量和细节分量。时间序列的噪声主要集中表示在时间序列的细节分量上，使用一定的门限处理细节分量后，再经过小波重构就可以得到消噪处理的时间序列。用一维小波进行时间序列消噪的一般步骤为：1.进行时间序列的小波分解；2.高频系数的门限值量化；3.一维小波的重构。4444利用利用利用利用MATLABMATLABMATLABMATLAB进行导航时间序列小波消进行导航时间序列小波消进行导航时间序列小波消进行导航时间序列小波消噪处理噪处理噪处理噪处理在导航时间序列信号采集、传输与处理过程中，由于外界或电路内部因素干扰，使得信号被噪声污染，所处理的信号中包含了一些无用的噪声信号。应用小波进行信号噪声消除是小波分析的一个很重要的应用。小波变换在信号噪声消除中的思想与傅立叶变换滤波思想相似，只不过傅立叶的数字滤波是等步长频谱滤波，而小波处理则是二等分频谱滤波，只有进行小波包分解才能实现等步长频谱滤波。由于变换的基波不一样，经典的滤波效果和小波消噪的效果也不一样。在小波消噪处理中，选用的小波不同，消噪的效果也不尽相同。小波分析进行信号噪声消除包括小波的分解和重构。在导航信号中，有用信号通常表现为低频信号或一些比较平稳的信号，而噪声信号通常则表现为高频信号。通常，一维信号的消噪算法分三步处理。首先，对信号进行小波分解。其次，对小波分解高频系数的阀值进行量化。最后是对信号进行重构。通过对低频系数和高频系数的小波处理后，对一维信号的小波重构，即可达到消噪的目的。通过MATLAB函数ddencmp和wdencmp的降噪方法：原始模拟导航数据和经过小波对信号进行降噪处理如图2所示。图中蓝色数据data1是原始模拟导航数据，红色曲线data2是小波处理后的数据，data1的allan方差是4.1359，data2的allan方差是2.8686。很显然通过对全局阀值进行降噪处理，使得原始数据的噪声大幅降低，其allan方差由原来的4.1359减少到2.8686，噪声降低30％左右。