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解读有理数的有关概念一、正数与负数：1.正数：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。2.负数：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。而负数前面的“－”号不能省略。3.零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如－a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数，当a是0时，－a是0，当a是负数时，－a是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言有理数。二、有理数及其分类：有理数：整数与分数统称为有理数。整数包括三类：正整数、零、负整数。分数包括两类：正分数和负分数。注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除和与有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。按整数、分数的关系分类：按正数、负数、零的关系分类：正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数三、数轴：1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。如图1所示。四、相反数：只有符≧号不同的两个数互为相反数。规定零的相反数是零。从数轴上看，表示互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等，如图1，3与－3互为相反数。注意：相反数是成对出现的，不能单独存在，如+2与－2互为相反数，说明+2的相反数是－2，－2的相反数是+2，单独一个数不能说相反数；“只有”的含义说明像+5与－3这样的两个数不是互为相反数。五、绝对值：绝对值的几何定义：在数轴上，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，记作|a|。绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.注意：①绝对值的求法：先判断这个数是正数、负数、还是零，再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号；②绝对值的非负性：无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义都揭示了绝对值的重要性质—非负性。也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即|a|0，(0)|0(0)(0)aaaaaa|。六、非负数若数a≧0，则称a为非负数。非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。七、倒数乘积为1的两个有理数互为倒数。倒数的求法：求一个数的倒数，直接可写成这个数分之一；求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可；求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再将分子、分母颠倒；求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数。只有零没有倒数，其他任何有理数都有倒数。正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。八、有理数大小的比较：1.利用数轴比较大小：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。于是：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。2任意有理数大小的比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。比较两个负数大小的步骤是：首先分别求出两个负数的绝对值；再比较两个绝对值的大小；最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断。九、基本运算1、有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把其绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零；一个数与零相加，仍得这个数。2、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。3、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把其绝对值相乘；任何数与零相乘，都得零；几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。4、有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把其绝对值相除；零除以任何一个不为零的数，都得零；除以一个数等于乘以这个数的倒数（零不能作除数）。十、乘方乘方的定义：求几个相同因数积的运算。乘方的结果叫做幂。在an中a叫做底数，n叫做指数。读作a的n次方，看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。根据乘方的意义转化为乘方，再根据乘法法则进行计算；根据乘方的性质，先判断幂的符号，再计算幂的绝对值。十一、有理数运算律①加法的交换律a+b=b+a；②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c；③存在数0，使0+a=a+0=a；④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；⑤乘法的交换律ab=ba；⑥乘法的结合律a(bc)=(ab)c；⑦分配律a(b+c)=ab+ac；⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a；⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。⑩0a＝0文字解释：一个数乘0还于0。十二、有理数的运算顺序先乘方、开方，后乘除，最后加减；有括号时，先算括号里面的；同级运算按从左至右的顺序进行，同时注意运算律的灵活应用。说明：加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方、开方是三级运算。十三、近似数、有效数字与科学计数法近似数：一个与实际数比较接近的数，称为近似数。有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字开始，草最末一个数字止，都是这个近似数的有效数字。科学计数法：把一个数记作a×10n形式（其中1≤a≤10，n为整数。）