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中学数学核心概念、思想方法的理解和教学设计章建跃zhangjy@pep.com.cn第一部分数学概念的理解和教学一、“三个理解”的内涵•理解数学，理解学生，理解教学。•掌握丰富的数学学科知识；中学数学课程结构体系、教学重点的知识；学生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解释的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识；等。•特别强调“内容所反映的数学思想方法”的理解，决定了教学所能达到的水平和效果。例1数学理解的几个例子•直线与平面垂直的定义；•推导等差数列前n项和公式的思想方法；•两个变量的线性相关；•定积分的概念。二、数学思想方法PK技巧•概念及其蕴含的思想方法——根本大法！•技巧——雕虫小技也，不足道也！•技巧无法穷尽，教技巧的结果：“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”。•要强调知识及其蕴含的思想方法教学的重要性——无知者无能；•让学生养成从基本概念出发思考问题、解决问题的习惯——解题训练应该针对概念的理解和应用；•加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路——解题的灵活性来源于概念的实质性联系，技巧是不可靠的。•例2“比较1.70.3与0.93.1的大小”该如何教？三、数学概念教学存在的问题•概念教学走过场，常常采用“一个定义，三项注意”的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，认为让学生多做几道题目更实惠．•有些老师不知如何教概念．四、教概念的意义•李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！•以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨，必须纠正．否则，学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空．五、概念教学的核心•概念教学的核心是概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。理论依据•概括是人们掌握概念的直接前提；•概括是思维的速度、灵活迁移程度、广度和深度、创造程度等思维品质的基础；•概括是科学研究的关键机制；•学习和应用知识的过程也是概括的过程；•数学概括能力是数学学科能力的基础，概括能力的训练是数学能力训练的基础；•概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力的基础。六、概念教学的基本环节•概念的引入——借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；•内涵的概括——提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括不同例证的共同特征；•概念的明确——下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；•概念的辨析——以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；•概念的巩固——用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；•概念的应用——纳入概念系统，建立与相关概念的联系。第二部分准确理解教学内容合理设计教学过程——以“归纳推理”的教学为例关于“归纳推理”的注记•过去没有的，值得研讨；•内容特点：入口宽且浅、收拢难——实际上是没有知识点；•如何以“思维方式”、“思维方法”的内容为载体，搞好“思维的教学”；•合情推理与演绎推理的不同点到底在哪里？——经验、直觉在起作用，这是我国教育所缺乏的。一、如何设计一堂课•凡事豫则立，不豫则废。•课堂教学必须精心设计：教学是有目的、有计划、有组织地进行的一种传承人类已有经验的活动。•必须处理好预设与生成的关系：预设是为了使生成更具有方向感，更富有成效性。备课要从重“教”走向重“学”，为“学”而设：预设学生的问题、体验、感悟、答案、错误、疑惑……1.从领会课标开始•目的：把握教学的方向•“推理与证明”是学习和生活中经常使用的思维方式。•推理一般包括合情推理和演绎推理。•合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程——经验、直觉都是要积累的。•归纳、类比是合情推理常用的思维方法。•在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养——加强合情推理能力的培养，对培养创造性人才有重要意义。•演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标。•合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。课标规定的内容与要求•结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。•结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。对课标安排的理解•加强合情推理思维方式的学习，具体落实创新意识的培养；•将零散、分散的合情推理内容系统化，使归纳、类比的思维方法显性化，通过具体事例，让学生体会归纳、类比的特点，明确它们的“动作要领”，认识合情推理在数学发现中的作用。2.理解教材的编写意图•本章内容属数学思维方法范畴，即把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以系统的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们，以培养言之有理、论证有据的习惯．教材注重了什么？•以典型事例为载体，提炼概括归纳推理的含义：以哥德巴赫猜想为背景引入归纳推理．哥德巴赫猜想的提出过程是一个典型的运用归纳推理的过程，教科书详细分析了猜想的提出过程，同时分析了其中的思维方法，并从这个过程中提炼出归纳推理的含义．•注重学科之间的联系，强调从不同学科的事例中，引导学生体会归纳推理的含义和作用。•通过简单事例，使学生体会归纳推理的基本过程和一般步骤。3.“归纳推理”的安排•第一步，陈述数学历上的著名猜想，引发学生的学习兴趣；•第二步，详细分析哥德巴赫猜想的提出过程；•第三步，阐述归纳推理的含义。•第四步，举例说明归纳推理在科学发现中的作用；•第五步，用归纳推理得出数学猜想的例题。两点说明•第一，无论是课标还是教材，都强调了以简单事例为载体，体会归纳推理的含义、过程和方法，不是要用归纳推理解决复杂问题；•第二，为什么用“哥德巴赫猜想”为例子？——名气大，内涵丰富，能说明问题。所以这个例子要用好！4.教学目标的确定——从几个例子说起•知识与技能：结合实例，理解归纳推理的思维过程，掌握归纳推理的方法，能利用归纳进行简单的推理。——要求太高，无法实现•过程与方法：通过让学生的积极参与，亲身经历归几种归纳推理的思维过程，培养学生观察比较、分析综合、抽象概括的能力，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用。——不具体，难落实•情感态度与价值观：提高数学思维能力，感受数学文化，增强学习兴趣。——放之四海而皆准，正确的废话，是无效目标。例2•知识目标：结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理。•过程与方法目标：体会并认识合情推理在数学发现中的作用。•情感态度与价值观目标：体会并认识合情推理在数学发现中的作用，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。共性问题•没有反映内容特点；不具体；目标分类混乱、不准确，条目繁琐，表达不确切，空话、套话连篇，对课堂教学活动的定向功能太弱……•原因：混淆了“课程目标”和“课堂教学目标”的关系。“三维目标”的理解•“三维目标”是课程目标的设计思路，是同一学习过程中的三个心理维度，不是教学目标的维度。•教学目标取决于教学内容的特点，要在“三个维度”的指导下，综合考虑学段目标、内容特点和学情来确定；课堂教学不是为了体现课程目标的“三个维度”而存在，而是要具体而扎实地把课程内容传递给学生，促进学生健康发展。•课堂教学目标：知识、技能、方法为载体，在过程中渗透情感态度价值观教育。•教学目标要聚焦在数学知识和技能、数学思维能力、理性精神上。数学教学目标系统•教育方针——学校一切学科的目标。•课程目标——宏观目标，要付出大量时间和精力，经过长期努力才能实现的学习结果；通常包含多方面的、更为具体的目标。目前采用“总体目标+学段目标”的方式来呈现。•单元目标——中观目标，用于计划需要几周或几个月的时间学习的单元，是课程目标的具体化。例如，“理解函数的概念”就是一个单元目标，因为函数的概念包含了函数的定义、图像、性质等众多内容。从这个单元目标到课堂教学目标，还需要教师的工作。•教学目标——微观目标，即课堂教学目标。专注于具体内容的学习，只处理细节，它们在计划日常教学中发挥作用。例如，“理解函数的概念”这一单元目标要具体化为：•理解函数的定义和三种表示法，能用函数的概念作简单判断（是不是函数）。•能分析简单实际问题中的函数关系。•能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。•能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。•结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。正确理解内容基础上制定目标•归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理；从几个事实中概括出一般结论的推理。•过程：几个事实→一种观察→一般观点→验证→提出猜想。•关键：“一种观察”，即部分对象共性的获得过程；得出“共性”需要敏锐的观察力，这正是创造力的表现之一。•共性的概括过程，经验、直觉都在发挥作用，同时也有逻辑的成分。因此，多举例，多经历，并及时总结很重要；还要让学生掌握一定的方法——“合情”的体现。•直觉之中融入逻辑的成分，经验之中融入理性的成分——经验之中找规律，这也是“合情”的体现。“合情推理”的教学目标•学生能通过具体事例的分析，了解合情推理的含义；•通过简单事例，学会从部分对象中得出共同特征并概括出一般结论，理解归纳推理的一般过程（方法和步骤）；•通过具体事例，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。5.关于重点、难点两位老师确定的重点和难点•重点：理解归纳推理的思维过程，掌握归纳推理的方法。•难点：理解归纳推理的思维过程。•重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。•难点：用归纳进行推理，做出猜想。•共性问题：以“面”代“点”，不精准，针对性不够。落实在“点”上的重、难点•重点：归纳推理的特征，从部分对象中抽象出共性。•难点：从部分对象中抽象出“共性”。•突破难点的方法：在“几个事实→一种观察→一般观点→从头验证→提出猜想”中，突出“一种观察”。6.教学过程概要•引入：典型例子（猜想）引出课题，给“推理”的概念；•分析：生活事例的作用——引发兴趣、知道日常生活、科学研究中常用。哥德巴赫猜想的教学•几个事实：3+7=10，3+17=20，13+17=30；•一种观察（倒过来看）：10=3+7，20=3+17，30=13+17；——不是谁都能做到的，经验、直觉的作用•一般观点：偶数=奇质数+奇质数；——不是谁都能提出的，经验、直觉、丰富的知识等都在起作用（因为有不同的观察角度，所以观点也可以是多种多样，但有“含金量”的差异）•验证：2=1+1（错），4=1+3（错），6=3+3（对），8=3+5（对），10=3+7（对），12=5+7，14=3+11……•提出猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和。•给概念。•问：“由铜、铁、金、银、铝等金属能导电，得出‘一切金属都能导电’”用了什么推理，为什么？•设计意图：辨析概念，要求说出与概念对应的各部分。•自己举出一些归纳推理的例子，并说明你举的例子确实是归纳推理。•概念辨析，初步应用概念作判断。•例1的处理•小结：•问1：归纳推理的一般过程是怎么样的？•几个事实----一种观察---一般观点----从头验证----提出猜想。•问2：归纳推理是由个别特征概括出一般结论的推理，那么部分对象中的个别特征是如何得到的？•预设：先列出几个事实，然后观察，观察要有明确目标，有时需要变形，有时需要语言转换，有时需要多角度看。•师：观察的目标就是“几个事实”中蕴含的那个“共性”。变形、语言转换、不同角度看等是为了突出“共性”，以利于得出结果。由于结果仅是根据“几个事实”得到