假设检验的基本思想

8.1假设检验的基本思想一、假设检验问题的提出二、假设检验的基本思想三、假设检验中两类错误上一章介绍了对总体中未知参数的估计方法。本章将讨论统计推断的另一个重要方面——统计假设检验。出于某种需要，对未知的或不完全明确的总体给出某些假设，用以说明总体可能具备的某种性质，这种假设称为统计假设。如正态分布的假设，总体均值的假设等。这个假设是否成立，还需要考察，这一过程称为假设检验，并最终作出判断，是接受假设还是拒绝假设。本章主要介绍假设检验的基本思想和常用的检验方法，重点解决正态总体参数的假设检验。统计推断的另一个重要问题是假设检验问题。在总体的分布函数未知或只知其形式，但不知其参数的情况下，为了推断总体的某些性质，提出某些关于总体的假设。例如，提出总体服从泊松分布的假设，又如，对于正态总体提出数学期望μ0的假设等。这里，先结合例子来说明假设检验的基本思想和做法。假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断：是接受，还是拒绝。一、假设检验问题的提出例1已知某炼铁厂的铁水含碳量X在某种工艺条件下服从正态分布N(4.55，0.1082)。现改变了工艺条件，又测了五炉铁水，其含碳量分别为：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。根据以往的经验，总体的方差2=0.1082一般不会改变。试问工艺改变后，铁水含碳量的均值有无改变？显然，这里需要解决的问题是，如何根据样本判断现在冶炼的铁水的含碳量是服从≠4.55的正态分布呢？还是与过去一样仍然服从=4.55的正态分布呢？若是前者，可以认为新工艺对铁水的含碳量有显著的影响；若是后者，则认为新工艺对铁水的含碳量没有显著影响。通常，选择其中之一作为假设后，再利用样本检验假设的真伪。例2某自动车床生产了一批铁钉，现从该批铁钉中随机抽取了11根，测得长度(单位：mm)数据为：10.41，10.32，10.62，40.18，10.77，10.64，10.82，10.49，10.38，10.59，10.54。试问铁钉的长度X是否服从正态分布？而在本例中，我们关心的问题是总体X是否服从正态分布。如同例1那样，选择是或否作为假设，然后利用样本对假设的真伪作出判断。以上两例都是科技领域中常见的假设检验问题。我们把问题中涉及到的假设称为原假设或称待检假设，一般用H0表示。而把与原假设对立的断言称为备择假设，记为H1。如例1，若原假设为H0：=0=4.55，则备择假设为H1：≠4.55。若例2的原假设为H0：X服从正态分布，则备择假设为H1：X不服从正态分布。当然，在两个假设中用哪一个作为原假设，哪一个作为备择假设，视具体问题的题设和要求而定。在许多问题中，当总体分布的类型已知时，只对其中一个或几个未知参数作出假设，这类问题通常称之为参数假设检验，如例1。而在有些问题中，当总体的分布完全不知或不确切知道，就需要对总体分布作出某种假设，这种问题称为分布假设检验，如例2。接下来我们要做的事是：给出一个合理的法则，根据这一法则，利用巳知样本做出判断是接受假设H0，还是拒绝假设H0。假设检验的一般提法是：在给定备择假设H1下，利用样本对原假设H0作出判断，若拒绝原假设H0，那就意味着接受备择假设H1，否则，就接受原假设H0。换句话说，假设检验就是要在原假设H0和备择假设H1中作出拒绝哪一个和接受哪一个的判断。究竟如何作出判断呢？对一个统计假设进行检验的依据是所谓小概率原理，即概率很小的事件在一次试验中是几乎不可能发生二、假设检验的基本思想例如，在100件产品中，有一件次品，随机地从中取出一个产品是次品的事件就是小概率事件。因为此事件发生的概率=0.01很小，因此，从中任意抽一件产品恰好是次品的事件可认为几乎不可能发生的，如果确实出现了次品，我们就有理由怀疑这“100件产品中只有一件次品”的真实性。那么取值多少才算是小概率呢？这就要视实际问题的需要而定，一般取0.1，0.05，0.01等。以例1为例：首先建立假设：H0：=0=4.55，H1：≠4.55。其次，从总体中作一随机抽样得到一样本观察值(x1，x2，…，xn)。注意到是的无偏估计量。因此，若H0正确，则与0的偏差一般不应太大，即不应太大，若过分大，我们有理由怀疑H0的正确性而拒绝H0。由于，因此，考察的大小等价于考察的大小，哪么如何判断是否偏大呢？niiXnX11niixnx11||0x)1,0(~/0NnXZ||0xnx/||0nx/||0具体设想是，对给定的小正数，由于事件是概率为的小概率事件，即因此，当用样本值代入统计量具体计算得到其观察值时，若，即说明在一次抽样中，小概率事件居然发生了。因此依据小概率原理，有理由拒绝H0，接受H1；若，则没有理由拒绝H0，只能接受H0。2/0/||znX2/0/||znXPnXZ/0nxz/||||02/||zz2/||zz将上述检验思想归纳起来，可得参数的假设检验的一般步骤：(1)根据所讨论的实际问题建立原假设H0及备择假设H1；(2)选择合适的检验统计量Z，并明确其分布；(3)对预先给定的小概率＞0，由确定临界值；(4)由样本值具体计算统计量Z的观察值z，并作出判断，若|z|≥z/2，则拒绝H0，接受H1；若|z|＜z/2，则接受H0。统计量称为检验统计量。nXZ/0当检验统计量取某个区域C中的值时，就拒绝H0，则称C为H0的拒绝域，拒绝域的边界点称为临界值。如例1中拒绝域为，临界值为和2/zz2/||zz2/zz现在，我们来解决例1提出的问题：(1)假设H0：=0=4.55，H1：≠4.55；(2)选择检验用统计量；)1,0(~/0NnXZ(3)对于给定小正数，如=0.05，查标准正态分表得到临界值z/2=z0.025=1.96；9.35/108.055.4364.4/0nxz因为|z|=3.9＞1.96，所以拒绝H0，接受H1，即认为新工艺改变了铁水的平均含碳量。(4)具体计算：这里n=5，，，故Z的观察值364.4x22108.0第Ⅰ类错误，当原假设H0为真时，却作出拒绝H0的判断，通常称之为弃真错误，由于样本的随机性，犯这类错误的可能性是不可避免的。若将犯这一类错误的概率记为，则有P{拒绝H0|H0为真}=。第Ⅱ类错误，当原假设H0不成立时，却作出接受H0的决定，这类错误称之为取伪错误，这类错误同样是不可避免的。若将犯这类错误的概率记为，则有P{接受H0|H0为假}=。三、假设检验中两类错误自然，我们希望一个假设检验所作的判断犯这两类错误的概率都很小。事实上，在样本容量n固定的情况下，这一点是办不到的。因为当减小时，就增大；反之，当减小时，就增大。那么，如何处理这一问题呢？事实上，在处理实际问题中，对原假设H0，我们都是经过充分考虑的情况下建立的，或者认为犯弃真错误会造成严重的后果。例如，原假设是前人工作的结晶，具有稳定性，从经验看，没有条件发生变化，是不会轻易被否定的，如果因犯第Ⅰ类错误而被否定，往往会造成很大的损失。因此，在H0与H1之间，我们主观上往往倾向于保护H0，即H0确实成立时，作出拒绝H0的概率应是一个很小的正数，也就是将犯弃真错误的概率限制在事先给定的范围内，这类假设检验通常称为显著性假设检验，小正数称为检验水平或称显著性水平。