人工举升理论第9讲有杆泵诊断技术

人工举升理论第9讲故障诊断技术吴晓东抽油机井故障诊断技术人们认识到地面示功图诊断的缺陷后，就试图直接或间接绘出抽油泵示功图美国吉而伯特和萨金特于1936年发明井下动力仪，可以直接获得泵示功图1966年美国S.G.吉布思和A.B.内利研究出诊断分析技术，建立了抽油杆系的一维带阻尼波动方程，并用分离变量法求得其截断的付立叶级数近似解。边界条件就应用地面示功图的载荷——时间曲线和位移——时间曲线。用该方法可以给出井下任意截面和泵的示功图吉布思建立了带阻尼一维波动方程：ttxuvxtxucttxu,,,22222诊断模型及付氏级数解边界条件用截断的付立叶级数作为这些以曲线方式给出的边界条件的近似表达式10sincos2)(nnnrtntnWtLtD10sincos2nnntntnvvtUtdtntDTTncos)(20nn......3,2,1,0TntdtntDT0sin2tdtntUTvTncos)(20TntdtntUT0sin2ω—角速度；D(ωt)—光杆动载荷函数；L(ωt)—光杆总载荷函数；Wr—抽油杆柱在液体中重力U(ωt)——光杆位移函数。傅立叶系数将曲线离散化11112cos2KppnKpnUKvKppnKpnDK12sin2KppnKpnDK12cos211112sin2KppnKpnUK令θ=ωt,设θ为离散变量光杆动载荷与θ关系曲线光杆位移与θ关系曲线傅氏级数解Z（x）和T（t）分别仅为x和t的函数，微分，并代入(a)中)()(),(tTxXtxZ令Z（x，t）为一维波动方程的复数形式解，则一维波动方程变为应用分离变量法，解的乘积形式为ttxZvtxZcttxZ,,,22222(a)(b))()()()()()(''2'2''xXxXtTctvTtTctT(c)2''2'2'')()()()()()(nxZxZtTctvTtTctT(d)0)()()(22'tTctvTtTn0)()(2xXtXn(f)(e)偏微分方程（a）分离为两个常微分方程首先寻找方程（e）的周期解：将其微分，并代入方程（e）得出tinetT:)(傅氏级数解02222tinntintineceivnen(g)因为0tine222civnnnnnni(i)(h)代入（h）式，并注意取αn,与βn为实数，解得2112nvcnn2112nvcnn傅氏级数解λn为为方程（d）的本征值。当n=0时，λ0==0，方程(e),(f)成为0)(vTtT0)(xX(j)(k)（j）与（k）的解为xxXtT:)(:)(方程（f）的解为谐波方程xxxXnnnncossin)(式中φn和Θn是复常数nnninnni(l)(n)(m)则方程(a)的解应为1cossin),(ntinnnnnexxxtxZ(o)由于txZtxU,Re,(p)所以，边界条件是：xtoZEAtD,Re)((q)(r)),(Re)(toZtU傅氏级数解(t)(u)(v)(s)tntnEAtDnnnnnnnnsincos)(将（o）代入（q）得对比得EAo2nnnnnEAnnnnnEA由（u）（和(v)有(3-2-`6)22nnnnnnnEA22nnnnnnnEA傅氏级数解将（o）式代入(r)得应用(o)和一下复数恒等式，可以确定位移U（x，t）的公式对比得1sincostntntUnn(z)(y)(x)(w)nnvnn2ovxxixxxnnnnnsinhcoscoshsinsinxxixxxnnnnnsinhsincoshcoscostnitnetinsincos傅氏级数解使用这些恒等式，分离Z（x，t）的实部，得到1]sin)(cos)([22),(nnnootnxPtnxOxEAvtxUxxvxxxxxPxxvxxxxxOnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsin)sinhcosh(cos)coshsinh()(cos)coshsinh(sin)sinhcosh()(式中利用以上方程和虎克定律可以计算任意截面的动载荷F（x，t）xtxUEAtxF),(),(得到傅氏级数解1''sin)(cos)(2),(nnnotnxPtnxOEAEAtxF式中xxvxEAxxvxEAxOxxvxEAxxvxEAxOnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsincosh)(sinhcossinh)(cosh)(cossinh(coshsincosh)(sinh)(''等步长有限差分解傅氏级数解存在的问题是，由于傅氏系数数目太低就不能保证精度，因此计算时间较长。此外，傅氏级数法将使地面示功图平滑化。有限差分解可以克服这个问题。可以用台劳级数推导出波动方程的有限差分解。设驴头下死点为x坐标原点，向下为正。u(x,t)也以向下为正，Δx为x的步长，Δt为时间步长。足标i表示位置，j表示时间，则tuutujijiji,1,,21,,1,,222tuuutujijijiji2,1,,1,222xuuuxujijijiji(a)(b)(c)等步长有限差分解将（a）、(b)、(c)式代入一维波动方程，并经整理就得jijijijijijiuuuutvutvtcxu,1,1,,1,2,12)2()1(上式为诊断模型的有限差分解已知地面光杆位移为u1,u2,……uk，光杆动载荷为Fl，F2……Fk,则边界条件为kkuuuuuu,122,111,1;;(d)xuuEAxuEAF1,11,21,11xuuEAxuEAF2,12,22,12xuuEAxuEAFkkkk,1,2,1……………………等步长有限差分解111,2uEAxFu222,2uEAxFukkkuEAxFu,2……………………(d)和（e）即有限差分方程的边界条件(e）差分格式，见左图。这种十字形差分格式结果会形成三角形，见右图。其中x为无法得出元点，但我们知道示功图是一个周期函数，根据这个概念得出等步长有限差分解1,.1,,;kiioikiuuuu等步长有限差分解上式实际是阻尼波动方程的两个初始条件。这样我们可以采取补格的办法求出全部未知点，见图等步长有限差分解收敛条件：我们使用无阻尼波动方程推导收敛条件。无阻尼波动方程可写成22222xuctu将(b)(c)代入（f）得出(f）jijijijijiutcxuuutcxu,2,11,1,2,112)(上式是无阻尼波动方程的有限差分解阻尼系数的确定抽油机井筒内的阻尼力主要有抽油杆柱、接箍与液体之间的粘滞性阻尼力；杆柱及接箍与油管之间的非粘滞性摩擦力；光杆与盘根之间的摩擦力；泵柱塞与泵筒之间的摩擦损失；泵阀和阀座内孔的流体压力损失以及杆柱材料的迟滞损失等阻尼系数的确定S.G.吉布思阻尼系数等效粘滞阻尼系数首先恢复带阻尼的波动方程的原始形状dxtuvdxxuAdxxuEA'2222式中v‘为等效粘滞阻尼因子，它是单位长度抽油杆的等效粘滞阻尼因子，量纲是[ML-1T-1]。以ρA除以上式就得出一维波动方程，其中等效粘滞性阻尼系数为，它的量纲是[T-1]。Avv'阻尼系数的确定S.G.吉布思阻尼系数等效粘滞阻尼系数另外，抽油杆柱可视为一端固定一端自由的杆，其纵向振动的第一阶固有频率为，则临界阻尼系数为，它的量纲和v‘一样。将除v‘，得无量纲阻尼因子lcn2lcAAvnc22cvclvcAlvvvvcd2221''lcvvd2阻尼系数的确定等效粘滞阻尼系数v可以在现场进行测试，等效的标准是等效力每.一个周期从抽油杆系统中吸收的能量同实际阻尼力所耗散的能量相等。根据测试可以得出各油田的无量纲阻尼因子曲线。右图无量纲阻尼因子与光杆速度的关系曲线S.G.吉布思阻尼系数等效粘滞阻尼系数阻尼系数的确定S.G.吉布思阻尼系数根据光杆功率与水力功率计算阻尼系数原始波动公式右边第二项可以写成，即阻尼力等于阻尼系数乘单元质量再乘以瞬时速度。故总阻尼力应为tuAdxvtuMvFDmiiiixAM1平均速度可用抽油杆运动一周的均方根速度计算。假设抽油杆是作简谐运动rmauTtstu2sin2)((a）(b）(c）阻尼系数的确定瞬时速度为S.G.吉布思阻尼系数根据光杆功率与水力功率计算阻尼系数TtTStutu2cos)((d）则速度的均方根值为TSdtTtTSTuTrms22cos12102(e）将(b)与(e)代入(a)得TSxAvFmiiiiD21(f）阻尼系数的确定S.G.吉布思阻尼系数根据光杆功率与水力功率计算阻尼系数将FD乘2S除以T就得到阻尼力单位时间所作功，它等于抽油杆的功率损耗，所以10001221TSTSxAvPPmiiiihr(g）解(g)式得21)(08.225STxAPPvmiiiihr21)(29.143STxAclPPvmiiiihrd无量纲阻尼因子水力功率Ph可由下式计算fnphLQP710135.1阻尼系数的确定S.G.吉布思阻尼系数用迭代法计算阻尼系数计算水力功率，但是事先需要知道动液面Ln及产液量Qp。Qp的计算需要预先知道泵的有效冲程。泵的有效冲程可以根据泵示功图来确定，但这又需要事先知道阻尼系数v。于是就需要使用迭代法，其计算步骤如下：首先假设泵有效冲程是光杆冲程的百分数，计算阻尼系数；根据假设的阻尼系数计算泵示功图，从而确定泵约有效冲程；根根据泵的有效冲程，重新计算阻尼系数，再计算新的泵示功图，从而重新确定泵的有效冲程；根据不再变化的泵有效冲程重新计算阻尼系数；应用新的阻尼系数计算泵示功图；阻尼系数的确定S.G.吉布思阻尼系数用迭代法计算阻尼系数根据泵示功图计算泵功率Ppump；如果泵功率与水力功率之差的绝对值在允差范围内即认为阻尼系数收敛，即式中ε为允许误差(例如0.0lkW)。如果上式不满足，则令nAPpumppump51067.1hpumpPPhpumpPPvv*式中v*为前一次迭代的v值。继续迭代直至满足要求为止。事实证明，最多4~5次迭代即可满足敛要求阻尼系数的确定i=1计算ph计算v计算泵示功图确定泵净冲程计算泵示功图及泵功率计算vi=2？i＝i＋1hpumpPP阻尼系数的计算框图停S.G.吉布思阻尼系数用迭代法计算阻尼系数阻尼系数的确定S.G.吉布思阻尼系数假设液体是在层