三角形全等的条件(ASA和AAS)

温故知新：1.什么样的图形是全等三角形？2.判断三角形全等至少要有几个条件？答：至少要有三个条件边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等。边角边公理：有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。ABCDEF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为：三角形全等判定方法1知识梳理:三角形全等判定方法2用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)知识梳理:FEDCBAAC=DF∠C=∠FBC=EF知识梳理:DCBAABDABCABDABCSSA不能判定全等AB=AC，则添加一个什么条件可得△ABD≌△ACD?△ABD≌△ACDAB=ACABDC∠BAD=∠CADSASAD=ADBD=CDS继续探讨三角形全等的条件：两角一边思考：已知一个三角形的两个角和一条边，那么两个角与这条边的位置上有几种可能性呢？ABCABC图1图2在图1中，边AB是∠A与∠B的夹边，在图2中，边BC是∠A的对边，我们称这种位置关系为两角夹边我们称这种位置关系为两角及其中一角的对边。观察下图中的△ABC，画一个△ABC，使AB=AB,∠A=∠A，∠B=∠B结论:两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).′′′′′′′观察：△ABC与△ABC全等吗？怎么验证？画法:1.画AB=AB；2.在AB的同旁画∠DAB=∠A,∠EBA=∠B,AD、BE交于点C′′′′′′′′′ACBA′EDCB′′′思考：这两个三角形全等是满足哪三个条件？′′′′′如何用符号语言来表达呢?证明:在△ABC与△ABC中∠A=∠AAB=AB∴△ABC≌△A’B’C’（ASA）ACBA′CB′′′′′′′′∠B=∠B′两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).∠A=∠D（已知）AB=DE（已知）∠B=∠E（已知）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。用符号语言表达为：FEDCBA三角形全等判定方法3知识梳理:练习1已知：如图，AB=A′C，∠A=∠A′，∠B=∠C求证：△ABE≌△A′CD________（）________（）________（）证明：在和中∴△____≌△____（）CDA'ABE∠A=∠A’已知AB=A’C已知∠B=∠C已知ABEA’CDASA△ABE△A’CD例2.如图,O是AB的中点，=，与全等吗?为什么？ABAOCBODOABCD两角和夹边对应相等例3、如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,∠B=∠C,求证：AD=AE证明:在△ABE与△ACD中∠B=∠C（已知）AB=AC（已知）∠A=∠A（公共角）∴△ABE≌△ACD（ASA）∴AD=AEAEDCB1、如图：已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。ABCDEF变一变证明：∵BE=CF(已知)∴BC=EF(等式性质)∠B=∠E在△ABC和△DEF中BC=EF∠C=∠F∴△ABC≌△DEF（ASA）∵AB∥DEAC∥DF(已知)∴∠B=∠DEF,∠ACB=∠F在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC和△DEF全等吗？为什么？ACBEDF探索分析：能否转化为ASA?证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知)∴∠C=∠F(三角形内角和定理)∠B=∠E在△ABC和△DEF中BC=EF∠C=∠F∴△ABC≌△DEF（ASA）你能从上题中得到什么结论？两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。如何用符号语言来表达呢?证明:在△ABC与△ABC中∠A=∠A∴△ABC≌△A’B’C’（AAS）ACBA′CB′′′′′′∠B=∠B′′′BC=BC两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”（ASA）（AAS）归纳下列条件能否判定△ABC≌△DEF.（1）∠A=∠EAB=EF∠B=∠D（2）∠A=∠DAB=DE∠B=∠E试一试请先画图试试看小明踢球时不慎把一块三角形玻璃打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块于原来一样的三角形玻璃呢?如果可以,带哪块去合适呢?为什么?(2)(1)CBEAD利用“角边角”可知,带第(2)块去，可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。(1)(2)(2)到目前为止,我们一共探索出判定三角形全等的四种规律，它们分别是:1、边边边(SSS)3、角边角(ASA)4、角角边(AAS)2、边角边(SAS)考考你1、如图，已知AB=DE，∠A=∠D，,∠B=∠E，则△ABC≌△DEF的理由是：2、如图，已知AB=DE,∠A=∠D，,∠C=∠F，则△ABC≌△DEF的理由是：ABCDEF角边角（ASA）角角边（AAS）1.如图，AD=AE,∠B=∠C，那么BE和CD相等么？为什么？证明:在△ABE与△ACD中∠B=∠C（已知）∠A=∠A（公共角）AE=AD（已知）∴△ABE≌△ACD（AAS）∴BE=CD（全等三角形对应边相等）AEDCB变一变BE=CD你还能得出其他什么结论？OABCDO1234如图：已知∠ABC=∠DCB，∠3=∠4，求证:(1)△ABC≌△DCB。(2)∠1=∠2例4ABCDEF1、如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件-------------------------，才能使△ABC≌△DEF（写出一个即可）。∠B=∠E或∠A=∠D或AC=DF你能行吗?（ASA）（AAS）（SAS）AB=DE可以吗？×AB∥DE2.如图∠1＝∠2，∠B＝∠D，求证△ABC≌△ADC.你也试一试:∠A=∠D（已知）AB=DE（已知）∠B=∠E（已知）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。用符号语言表达为：FEDCBA三角形全等判定方法3知识梳理:知识梳理:思考:在△ABC和△DFE中,当∠A=∠D,∠C=∠F和AB=DE时,能否得到△ABC≌△DFE?三角形全等判定方法4有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“AAS”）。CBAFED(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”.(2)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.知识要点：（3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等），角相等（对应角相等）等问题的基本途径。数学思想：要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。当堂检测：1、如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，根据SAS,ASA或AAS，那么应补充一个直接条件--------------------------，（写出一个即可），才能使△ABC≌△DEF.2、如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？ABCDEFAC=DF或∠B=∠E或∠A=∠DCAB12ED课后测评1.如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长。为什么？ABCDEF在△ABC和△EDC中,∠B=∠EDC=900BC＝DC,∠1＝∠2,∴△ABC≌△DEF（ASA）∴AB＝ED.12证明：2.如图,AB⊥BC,AD⊥DC,∠1=∠2.求证:AB=AD.知识应用在△ABC和△ADC中,∠B=∠D,∠1＝∠2,AC＝AC,∴△ABC≌△ADC（AAS）∴AB＝AD.证明：∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=∠D=900,练习:==ABECFD3、已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,求证:ΔABC≌ΔDEF(1)若要以“SAS”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；(2)若要以“ASA”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；(3)若要以“SSS”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；∠ACB=∠DEFAB=DEAB=DE、AC=DF三步走：①要证什么；②已有什么；③还缺什么。(4)若要以“AAS”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；∠A=∠D4、(1)图中的两个三角形全等吗?请说明理由.全等.因为两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.3535110110ABCDDBCABCDABCBCDBCABC\()AASABCDBC和解：在中(已知)(已知)(公共边)相等吗？与，那么且，于，于中，）已知（DCBDCFBEFADCFEADBEABC2DABCEFBEADCFAD，证明：90(BEDCFD\垂直的定义）中和在CDFBDEBEDCFD（已证）BDECDF对顶（角相等）BECF（已知）BDECDFAAS\（）BDCD\全等三角形对应（边相等）(3)如图，AC、BD交于点O,AC=BD,AB=CD.求证：BC)1(ODOA)2(ABCDO证明:(1)连接AD,在△ADC和△DAB中AD=DA（公共边）AC=DB（已知）DC=AB（已知）∴△ADC≌△DAB（SSS）∴∠C=∠B（全等三角形的对应角相等）(2)在△AOB和△DOC中∠B=∠C（已证）∠1=∠2（对顶角相等）DC=AB（已知）∴△DOC≌△AOB（AAS）∴OA=OD（全等三角形的对应边相等）12(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”.(2)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.知识要点：（3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等），角相等（对应角相等）等问题的基本途径。数学思想：要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。