高等代数北大版第四章矩阵知识点总结

第四章矩阵（***）一、复习指导：矩阵这一章节可以说是一个基础章节，它不仅很重要，而且还是其他章节的基础，学好矩阵十分重要，我们要对逆矩阵，转置矩阵，对称矩阵等等的概念都要弄清楚，除此之外，还要知道矩阵的运算性质，矩阵的秩。在考试中，很有可能会出与矩阵这一章节有关的证明题，例如证明相互关联的矩阵的秩，矩阵的逆之间的关系，还有可能有与求矩阵的逆有关的题目。总的来说，这一个章节是一个关键的章节，高等代数这本书里面的知识都是融会贯通的，学好了矩阵能够为后面的章节夯实基础。二、考点精讲：（一）基本概念及其运算1.基本概念矩阵—形如mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为m行n列的矩阵，记为nmijaA)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O。（2）对nmijaA)(，若nm，称A为n阶方阵。（3）称11E为单位矩阵。（4）对称矩阵—设nnijaA)(，若),,2,1,(njiaajiij，称A为对称矩阵。（5）转置矩阵—设mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211，记mnnnmmTaaaaaaaaaA212221212111，称TA为矩阵A的转置矩阵。（6）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。（7）伴随矩阵—设nnijaA)(为n矩阵，将矩阵A中的第i行和j列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1n阶行列式，称为元素ija的余子式，记为ijM，同时称ijjiijMA)1(为元素ija的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111，称为矩阵A的伴随矩阵。2.矩阵的三则运算（1）矩阵加减法—设mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211，mnmmnnbbbbbbbbbB212222111211，则mnmnmmmmnnnnbababababababababaA221122222221211112121111。（2）数与矩阵的乘法—设mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211，则mnmmnnkakakakakakakakakakA212222111211。（3）矩阵与矩阵的乘法：设mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211，nsnnssbbbbbbbbbB212222111211，则msmmnscccccccccC212222111211，其中nkkjikijbac1（sjmi,,2,1;,,2,1）。【注解】（1）OBOA,推不出OAB。（2）BAAB。（3）矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。若BAAB，则)2)((2322BABABABA，再如)2)(3(62EAEAEAA（二）矩阵的逆矩阵与矩阵的秩1.逆矩阵（1）定义逆矩阵的定义—设A为n阶矩阵，若存在B，使得EBA，称A可逆，B称为A的逆矩阵，记为1AB。（2）逆矩阵存在的充分必要条件设A为n阶矩阵，则矩阵A可逆的充分必要条件是0||A。（3）逆矩阵的求法①伴随矩阵法AAA||11。②初等变换法)|()|(1AEEA初等行变换。（4）逆矩阵的性质①AA11)(。（2）111)(AkkA。②111)(ABAB，更进一步11111121)(AAAAAAnnn。③TTAA)()(11。④111BOOABOOA，OABOOBAO111。2.矩阵的秩（1）定义设A是nm矩阵，A中任取r行和r列且元素按原有次序所成的r阶行列式，称为A的r阶子式，若A中至少有一个r阶子式不等于零，而所有1r阶子式（如果有）皆为零，称r为矩阵A的秩，记为rAr)(。（2）求法将A用初等行变换化为阶梯矩阵，阶梯矩阵的非零行数即为矩阵A的秩。（3）矩阵秩的性质①)()()()(AArAArArArTTT。②)()()(BrArBAr。③)}(),(min{)(BrArABr，等价于)()()()(BrABrArABr。④设snnmBA,，且0AB，则nBrAr)()(。⑤设QP,为可逆矩阵，则)()()()(PAQrAQrPArAr。⑥)2(1)(,01)(,1)(,)(nnArnArnArnAr。⑦)()(BrArBAr。⑧1)(Ar存在非零向量,，使得TA。三、首师大真题：