矩阵论1.1节

第一章线性空间与线性变换1.1线性空间1.2线性变换及其矩阵1.3两个特殊的线性空间1.1线性空间一.集合与映射1.集合集合：作为整体看的一堆东西.集合的元素：组成集合的事物.设S表示集合，a表示S的元素，记为读为a属于S；用记号aS表示a不属于S.集合的表示：(1)列举法例如空集合：不包含任何元素的集合，记为子集合：设表示两个集合，如果集合都是集合的元素，即由，那么就称的子集合，记为相等：即(2)特征性质法集合的交：集合的并：集合的和：例如2.数域数域：是一个含0和1,且对加，减，乘，除（0不为除数）封闭的数集.例如：有理数域Q，实数域R，复数域C.3.映射映射：设S与S’是两个集合，一个法则（规则），它使S中的每个元素a都有中一个确定的元素a’与之对应，记为称为集合S到S’的映射，a’称为a在映射下的象，而a称为a’在映射σ下的一个原象.':SSaaaa或)(变换：S到S自身的映射.例如：将方阵映射为数将数映射为矩阵可看成变换。其中相等：设都是集合S到的映射，如果对于都有，则称相等，记为.乘法：设依次是集合S到，的映射，乘积定义如下是S到的一个映射.注：，（是的映射）二.线性空间及其性质定义1.1设V是一个非空集合，它的元素用等表示，K是一个数域，它的元素用m等表示，如果V满足下列条件（I）在V中定义一个加法运算，即当时，有唯一的和，且加法运算满足（1）（2）（3）存在零元素0,使（４）存在负元素，即对，存在向量，使，则称为的负元素，记为；（Ⅱ）在Ｖ中定义数乘运算，即当时，有唯一的，且数乘运算满足（５）（６）(7)(8)则称Ｖ为数域Ｋ上的线性空间或向量空间.当Ｋ＝Ｒ时，称为实线性空间；当Ｋ＝Ｃ时，称为复线性空间.例1.1设为所有正实数组成的数集，其加法与乘法运算分别定义为证明R+是R上的线性空间.定理1.1线性空间Ｖ有唯一的零元素，任一元素也有唯一的负元素.证设是Ｖ的两个零元素，由于所以零元素唯一.设元素有两个负元素，由于所以任意元素有唯一负元素.证毕还有如下性质：若定义1.2：如果为线性空间Ｖ中的m个向量，,且存在数域Ｋ中一组数使则称为向量组的线性组合，也称向量可由线性表示.mxx,,1mcc,,11122mmxcxcxcx定义1.3对于，如果存在不全为零的m个数，使则称向量组线性相关，否则称其为线性无关.定义1.4如果是线性空间Ｖ中的m个元素且满足（１）线性无关；（２）可由线性表示.Kccm,,111220mmcxcxcx则称为Ｖ的一个基，m称Ｖ的维数记维数为m的线性空间Ｖ记，当时称为无限维线性空间.例如对，有例1.2如果V=C，K=R，则如果V=C，K=C，则定义1.5设线性空间Vn的一个基,则称为x在该基下的坐标，记为定理1.2设是Vn的一个基，则x可唯一的表示成的线性组合.三.基变换与坐标变换设；是Vn的两个基，则nnxxxx,,2211或矩阵形式其中矩阵称为由基Ｉ到基Ⅱ的过渡矩阵.上式称为基变换公式.（基Ｉ：；基Ⅱ：）设在基Ｉ与基Ⅱ下的坐标分别为即所以则有此式称为坐标变换公式.例1.3在中，已知向量在基下的坐标为，求向量在基下的坐标，其中解因为所以即例1.4已知矩阵空间K22的两个基（Ｉ）（Ⅱ）求基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵.解采用中介基方法.引入K22的简单基（Ⅲ）（的1行1列为1，其余为0）则其中所以有于是得由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵四.线性子空间定义1.6设V1是数域K上的线性空间Ｖ的一个非空子集合，且对已有的线性运算满足（１）如果（２）如果则称V1为Ｖ的线性子空间或子空间.如果，称为平凡子空间；否则称为非平凡子空间.生成子空间：设是线性空间V的一组向量，则集合是V的线性子空间，称为由生成的子空间，记为miKkxkxkxxxLimmm,,2,1,),,,(1121定义1.7设，以表示A的第个列向量，称子空间为矩阵A的值域，记为结论：（1）；（2）结论:（3）定义1.8设，称集合为A的核空间（零空间），记为N(A).A的核空间的维数称为A的零度，记为n(A),即例1.5已知，求A的秩与零度.解rankA=2，n(A)=3-2=1结论:（1）rankA+n(A)=A的列数；（2）定理1.3设W是数域K上的线性空间的一个m维子空间，是W的基，则这m个基向量必可扩充为的一个基.证当n-m=0时，定理成立.假定n-m=k时定理成立，当n-m=k+1时，由于不是的基，则在中至少有一个向量不能由线性表示，所以线性无关，子空间是m+1维的.因为所以的基可以扩充为的一个基.证毕例1.6判断R22的下列子集是否构成子空间：(1)V1={A|detA=0,AR22}(2)V2={A|A2=A,AR22}五.子空间的交与和定理1.4如果V1,V2是数域K上的线性空间V的两个子空间，那么V1V2也是V的子空间.证,V1V2,有V1,V2,V1,V2所以+V1，+V2，进而+V1V2同理kV1V2，所以V1V2是V的子空间.证毕定义1.9设V1,V2都是V的子空间，则集合称为V1与V2的和，记为V1+V2定理1.5如果V1,V2都是V的子空间，那么V1+V2也是V的子空间.结论:（1）V1V2是包含在V1,V2中的最大子空间;（2）V1+V2是包含V1,V2的最小子空间.例1.7已知V1与V2是V的两个子空间，其中V1=L(a1,a2,,am),V2=L(b1,b2,bl),求证V1+V2=L(a1,a2,,am,b1,b2,bl)证显然V1+V2L(a1,a2,,am,b1,b2,bl)，又对xV1+V2,有x=x1+x2,x1V1,x2V2.所以x1=k1a1++kmam,x2=p1b1++plbl因而xL(a1,a2,,am,b1,b2,bl)，可得V1+V2L(a1,a2,,am,b1,b2,bl)，结论成立.定理1.6（维数公式）如果V1,V2是V的两个子空间，那么有证：设是V1V2的一个基，将它依次扩充为V1,V2的基.由于假定则有所以于是有因而由此推出所以线性无关.即证毕定义1.10如果V1+V2中的任一向量只能唯一地表示为V1的一个向量与V2的一个向量的和，则称V1+V2为V1与V2的直和，记为V1V2.定理1.7V1+V2为直和证必要性.对，则有，所以，由于是直和，所以x=0，即充分性.对，有其中因为所以，因而即，同理所以V1+V2是直和.证毕推论1设V1,V2都是V的子空间，则V1+V2是直和推论2如果为的基，为V2的基，且V1+V2为直和，则为V1V2的基.例1.8设R22的两个子空间为(1)将V1+V2表示为生成子空间;(2)求V1+V2及V1V2的基与维数;解：线性无关，所以V1+V2=dim(V1+V2)=4,V1+V2的基为：dim(V1V2)=1，V1V2的基为：