1/7导数大题分类一、含参数单调区间的求解步骤:①确定定义域(易错点)②求导函数)('xf③对)('xf进行整理,能十字交叉的十字交叉分解,若含分式项,则进行通分整理.④)('xf中x的最高次系数是否为0,为0时求出单调区间.例1:xxaxaxf23213)(,则)1)(1()('xaxxf要首先讨论0a情况⑤)('xf最高次系数不为0,讨论参数取某范围的值时,若0)('xf,则)(xf在定义域内单调递增;若0)('xf,则)(xf在定义域内单调递减.例2:xxaxfln2)(2,则)('xf=)0(,12xxax,显然0a时0)('xf,此时)(xf的单调区间为),0(.⑥)('xf最高次系数不为0,且参数取某范围的值时,不会出现0)('xf或者0)('xf的情况求出)('xf=0的根,(一般为两个)21,xx,判断两个根是否都在定义域内.如果只有一根在定义域内,那么单调区间只有两段.若两根都在定义域内且一根为常数,一根含参数.则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间,即212121,,xxxxxx.例3:若)0(,ln)1(2)(2axxaxaxf,则xxaxxf)1)(1()(',)0(x解方程0)('xf得axx1,1210a时,只有11x在定义域内.0a时,比较两根要分三种情况:1,10,1aaa用所得的根将定义域分成几个不同的子区间,讨论)('xf在每个子区间内的正负,求得)(xf的单调区间。2/7(1)求函数的单调区间1.已知函数22)1ln()(xkxxxf)0(k(Ⅰ)当2k时,求曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线方程.(Ⅱ)求)(xf得单调区间.2.已知函数2()4lnfxaxx,aR.(Ⅰ)当12a时,求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程;(Ⅱ)讨论()fx的单调性.3.已知函数()()sincos,(0,)fxxaxxx.(Ⅰ)当π2a时,求函数()fx值域;(Ⅱ)当π2a时,求函数()fx的单调区间.4.已知函数12e()44xfxaxx,其中aR.(Ⅰ)若0a,求函数()fx的极值;(Ⅱ)当1a时,试确定函数()fx的单调区间.(二)求函数在给定的区间的最值问题5.已知函数1)(2axxf)0(a,bxxxg3)(.(Ⅰ)若曲线)(xf与)(xg在它们的交点),1(c处具有公切线,求ba,的值.(Ⅱ)当ba42时,求函数)()(xgxf的单调区间,并求其在)1,(上的最大值.6.已知函数21()ln2fxaxx,aR.(Ⅰ)求函数()fx的单调区间;(Ⅱ)若函数()fx在区间[1,e]的最小值为1,求a的值.7.已知函数bxaxxxf2ln)((其中ba,为常数且0a)在1x处取得极值.(Ⅰ)当1a时,求函数()fx的单调区间;(Ⅱ)若函数)(xf在区间[0,e]上的最大值为1,求a的值.3/78.已知函数)1ln(21)(2xaxxxf,其中aR.(Ⅰ)若2x是)(xf的极值点,求a的值;(Ⅱ)求)(xf的单调区间;(Ⅲ)若)(xf在[0,)上的最大值是0,求a的取值范围.9.已知21()ln(1)2fxaxxx,其中0a.(Ⅰ)若函数()fx在点(3,(3))f处切线斜率为0,求a的值;(Ⅱ)求()fx的单调区间;(Ⅲ)若()fx在0,上的最大值是0,求a的取值范围.10.设函数()xfxeax,xR.(Ⅰ)当2a时,求曲线()fx在点(0,(0))f处的切线方程;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:()0fx;(Ⅲ)当1a时,求函数()fx在[0,]a上的最大值.二、恒成立问题的几种问法:1.对于bax,,kxf)(恒成立,等价于函数)(xf在ba,上的最小值kxfmin)(.诉讼2.对于bax,,axf)(恒成立,等价于函数)(xf在ba,上的最大值kxfmax)(.3.对于baxx,,21,)()(21xgxf,等价于)(xf在区间ba,上的最小值min)(xf,大于等于)(xg在区间ba,上的最大值max)(xg,即maxmin)()(xgxf.4.对于baxx,,21,)()(21xgxf,等价于)(xf在区间ba,上的最大值max)(xf,小于等于)(xg在区间ba,上的最小值min)(xg,即minmax)()(xgxf.5.对于bax,,)()(xgxf,等价于构造函数)()()(xgxfxh,)(xh在区间ba,上的最小值0)(minxh.4/76.对于bax,,)()(xgxf,等价于构造函数)()()(xgxfxh,)(xh在区间ba,上的最大值0)(maxxh.7.)(xf在区间ba,上单调递增,等价于baxxf,,0)(min'.8.)(xf在区间ba,上单调递减,等价于baxxf,,0)(max'.1.已知函数kxekxxf2)()(.(Ⅰ)求)(xf的单调区间.(Ⅱ)若对于任意的),0(x,都有exf1)(,求k的取值范围.2.设l为曲线C:xxyln在点)0,1(处的切线.(Ⅰ)求l的方程.(Ⅱ)证明:除切点外,曲线C在直线l下方.3.已知函数xxxxfsincos)(,2,0x(Ⅰ)求证:0)(xf(Ⅱ)若bxxasin在2,0上恒成立,求a的最大值和b的最小值.5.已知0a,函数2()21axfxax,()lngxaxxa.(Ⅰ)求函数()fx的单调区间;(Ⅱ)求证:对于任意的12,(0,e)xx,都有12()()fxgx.6.已知函数21()e1xfxax,aR.(Ⅰ)若曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线与直线e10xy垂直,求a的值;(Ⅱ)求函数()fx的单调区间;(Ⅲ)设32ea,当[0,1]x时,都有()fx1成立,求实数a的取值范围.5/77.已知函数Raxaxxf,ln)()((Ⅰ)当0a时求)(xf的极小值.(Ⅱ)若函数)(xf在区间),0(上为增函数,求a得取值范围8.已知3)(,ln)(2axxxgxxxf.(I)求函数)(xf在)0](2,[ttt上的最小值;(II)对一切)()(2),,0(xgxfx恒成立,求实数a的取值范围.9.已知函数2()ln,.fxxaxxaR(I)若函数()fx在(1,(1))f处的切线垂直于y轴,求实数a的值;(II)在(I)的条件下,求函数()fx的单调区间;(III)若1,()0xfx时恒成立,求实数a的取值范围.10.已知函数,其中aR.⑴当时,求f(x)的单调区间;⑵当a>0时,证明:存在实数m>0,使得对于任意的实数x,都有|f(x)|≤m成立.三、存在性问题的几种问法:1.bax,0,使得kxf)(成立,等价函数)(xf在ba,上的最大值kxfmax)(.2.bax,0,使得kxf)(成立,等价函数)(xf在ba,上的最小值kxfmin)(.3.baxx,,21,使得)()(21xgxf成立,等价于)(xf在区间ba,上的最大值max)(xf,大于等于)(xg在区间ba,上的最小值min)(xg,即minmax)()(xgxf.4.baxx,,21,使得)()(21xgxf,等价于)(xf在区间ba,上的最小值min)(xf,小于等于)(xg在区间ba,上的最大值max)(xg,即maxmin)()(xgxf.5.bax,,使得)()(xgxf,等价于构造函数)()()(xgxfxh,)(xh在区间ba,上的最大值0)(maxxh.6/76.bax,,使得)()(xgxf,等价于构造函数)()()(xgxfxh,)(xh在区间ba,上的最小值0)(minxh.7.)(xf在区间ba,上存在单调递增区间,等价于)('xf的最大值0)(max'xf.8.)(xf在区间ba,上存在单调递减区间,等价于)('xf的最小值0)(min'xf.1.已知曲线()xfxaxe(0)a.(Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f)处的切线方程;(Ⅱ)若存在0x使得0()0fx,求a的取值范围.2.已知函数1()()2ln()fxaxxaxR.(Ⅰ)若2a,求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程;(Ⅱ)求函数()fx的单调区间;(Ⅲ)设函数()agxx.若至少存在一个0[1,e]x,使得00()()fxgx成立,求实数a的取值范围.3.已知函数1()ln(0,)fxaxaaxR(Ⅰ)若1a,求函数()fx的极值和单调区间;(Ⅱ)若在区间[1,e]上至少存在一点0x,使得0()0fx成立,求实数a的取值范围.4.已知函数()exfxxa.(Ⅰ)当2ea时,求()fx在区间[1,3]上的最小值;(Ⅱ)求证:存在实数0[3,3]x,有0()fxa.四、切线问题1.已知函数()fxln,xaxaR.(Ⅰ)求函数()fx的单调区间;(Ⅱ)当1,2x时,都有()0fx成立,求a的取值范围;(Ⅲ)试问过点(13)P,可作多少条直线与曲线()yfx相切?并说明理由.7/72.已知函数3()fxxx.(I)求曲线()yfx在点(())Mtft,处的切线方程;(II)设0a,如果过点()ab,可作曲线()yfx的三条切线,证明:()abfa.五、特殊问题1.已知函数21ln()xfxx.(Ⅰ)求函数()fx的零点及单调区间;(Ⅱ)求证:曲线lnxyx存在斜率为6的切线,且切点的纵坐标01y.六、构造函数模型1.设函数1)(xaexfx,Ra.(Ⅰ)当1a时,求()fx的单调区间;(Ⅱ)当),0(x时,0)(xf恒成立,求a的取值范围;(Ⅲ)求证:当),0(x时,21lnxxex.