《应用数理统计》吴翊李永乐第一章数理统计的基本概念课后习题

第一章数理统计的基本概念课后习题参考答案1.1设对总体X得到一个容量为10的子样值：4.5，2.0，1.0，1.5，3.4，4.5，6.5，5.0，3.5，4.0，试分别计算子样均值X和子样方差2S的值。解：12,nXXX为总体X的样本，根据121()nXXXXn求得X=3.59；根据2211()niiSXXn求得2S=2.5929。1.2设总体X的分布函数为xF，密度函数为xf，nXXX,,,21为X的子样，求最大顺序统计量nX与最小顺序统计量1X的分布函数与密度函数。解：将总体X中的样本按照从小到大的顺序排列成nXXX21nnnnxFxxPxxPxxPxxPxF21xfxnFxFxfnnn1'nnnxFxxPxxPxxPxxPxxPxxPxxPxF1111111212111xfxFnxFxfn1111'1.3设总体X服从正态分布N(12,4),今抽取容量为5的子样521,,,XXX，试问：(1)子样的平均值X大于13的概率为多少？(2)子样的极小值(最小顺序统计量)小于10的概率为多少？(3)子样的极大值(最大顺序统计量)大于15的概率为多少？解：nIiXnXNX121,,~5412,N~X5411212121nXDnXDXEnXEniinii，(1)1314.08686.0112.1n/-X15/41213n/-XP-113XP-113XPP(2)5785.08412.011-XP-121210-XP-110P-110P551i51i51miniiiiXX(3)2923.093315.015.1-XP-121215-XP-115P-115P551i51i51maxiiiiXX1.4试证：（1）22211()()()nniiiixaxxnxa对任一实数a成立。并且此证明当ax时，21()niixa达到极小。（2）22211()nniiiixxxnx其中11niixxn证明：（1）2211()()nniiiixaxxxa22111()()2()()nnniiiiixxxaxxxa221211()()2()()nniniixxxaxxxnxxa2211()()nniiixxxa221()()niixxnxa222111()2nnniiiiiixaxnaax21(2)niixnaax求函数的极值，对变量进行求导，这里对变量a求导得220ax即ax根据数学分析中的结论，当仅有一个极值时，那么同时也是其相应的最值。(2)22111()2nnniiiiiixxxnxxx21212()ninixnxxxxx2212niixnxnx21niixnx1.5设nXXX,,,21为正态总体2,N的样本，令niiXnd11试证：nddE221D2，证明:令iixy则2,0~Nyi2212202202iyiiiiidyeydyyfyyEdEinnxExEnxDnxnDdniniiiniiini2122212221212121111D1.6设总体X服从正态2,N，nXXX,,,21为其子样，X与2S分别为子样均值与方差。又设1nX与nXXX,,,21独立同分布，试求统计量111nnSXXYN的分布。解：01111111niinniinnXEnXEXnXEXXE2212111111111nnXDnnXDnnXnXnnDXXDinniinn1,0~21nnNXXn又1~222nnS1~111111ntnnSXXYnSnnnXXNn1.7设(),Ttn求证2(1,)TFn证明：设2(0,1),(),XNYnX与Y独立，则称随机变量()XTtnYn那么221XTYn其中22(1)X根据F分布的定义得出：2(1,)TFn1.8设nXXX,,,21独立，同服从指数分布，即密度函数为00,00,xxexfx求证nXn2~22，其中niiXnX11证明：总体X的概率密度函数为：00,00,xxexfx令XXi2，则2XXi2221212xxieeXf即2~22iX由可加性定理知nXXnnXnniinii2~21222111.9设1,,,21nXXX与2,,,21nYYY分别来自总体21,N和22,N且相互独立，和是两个已知常数，试求221221222211212nnnnSnSnYX的分布，其中2122221121211,1niiniiYYnSXXnS证明：222121n,~Y,,~NnNX又因为X与Y相互独立，故22122121,~nnNYX又有1~,1~222222122211nSnnSn所以21S与22S相互独立，由2的可加性知2~21222222211nnSnSn由定理1.3及两总体样本的独立性知21YX与222211SnSn相互独立，因而2~222121222221122122122122122221121nntnnSnSnnnYXnnnnSnSnYX1.10设总体nnYXYXYXNYX,,,,,,,,,,,~,2211222121为子样，令211211212221221,1,1,1SSSRYYXXnSYYnSXXnSniiiniinii求证1~2121222121ntSRSSSYXn证明：二维正态分布的数学期望是21,,YEXE协方差矩阵是22212121令YXZ，则niiSRSSSZZ1212221222n1S221,~NYX1,0~,1~21222NnYXnnS1~2112122212121ntSRSSSYXnnSnnYX1.11设()Fx为总体X的分布函数，()nFx为由其样本1,2,,nXXX确定的经验分布函数，求证lim()()1nnPFxFx对一切实数x成立。证明：经验分布函数()nFx得构造方法为，设1,2,,nXXX诸观察值按从小到大可排成(1)(2)()nXXX定义(1)()(1)()0,(),,1,2,,11,nkknxXkFxXxXknnxX所以(,]11()()nnxiiFxIxn这里AI表示A的示性函数，(,]1,(,]0,(,]xxxIxx对于给定的x，记(,]()(1,,)ixYIxin则1,,nYY独立同分布(1,())iYBFx而1()/nniiFxYn由强大数定律得lim()()1nnPFxFx对一切实数x成立