第1页共138页高考数学解题破题36计第1计芝麻开门点到成功●计名释义七品芝麻官,说的是这个官很小,就是芝麻那么小的一点.《阿里巴巴》用“芝麻开门”,讲的是“以小见大”.就是那点芝麻,竟把那个庞然大门给“点”开了.数学中,以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等,这些足以说明“点”的重要性.因此,以点破题,点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.●典例示范[例题]将杨辉三角中的每一个数rnC都换成分数rnCn)1(1,就得到一个如下图所示的分数三角形,称来莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出rnxnrnnCCnCn11)1(1)1(1,其中x.令221)1(1160130112131nnnCnnCa,则nnalim.[分析]一看此题,图文并举,篇幅很大,还有省略号省去的有无穷之多,真乃是个庞然大物.从何处破门呢?我们仍然在“点”上打主意.莱布三角形,它虽然没有底边,但有个顶点,我们就打这个顶点11的主意.[解Ⅰ]将等式rnxnrnnCCnCn11)1(1)1(1与右边的顶点三角形对应(图右),自然有21)1(1rnCn21)1(1xnCn1111rnnC对此,心算可以得到:n=1,r=0,x=1对一般情况讲,就是x=r+1这就是本题第1空的答案.[插语]本题是填空题,只要结果,不讲道理.因此没有必要就一般情况进行解析,而是以点带面,点到成功.要点明的是,这个顶点也可以不选大三角形的顶点.因为三角形中任一个数,都等于对应的“脚下”两数之和,所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形,都能解出x=r+1.第2页共138页第2道填空,仍考虑以点带面,先抓无穷数列的首项31.[解Ⅱ]在三角形中先找到了数列首项31,并将和数列60130112131na中的各项依次“以点连线”(图右实线),实线所串各数之和就是an.这个an,就等于首项31左上角的那个21.因为21在向下一分为二进行依次列项时,我们总是“取右舍左”,而舍去的各项(虚线所串)所成数列的极限是0.因此得到nnalim21这就是本题第2空的答案.[点评]解题的关键是“以点破门”,这里的点是一个具体的数31,采用的方法是以点串线——三角形中的实线,实线上端折线所对的那个数21就是问题的答案.事实上,三角形中的任何一个数(点)都有这个性质.例如从201这个数开始,向左下连线(无穷射线),所连各数之和(的极限)就是201这个数的左上角的那个数121.用等式表示就是1211401601201[链接]本题型为填空题,若改编成解答题,那就不是只有4分的小题,而是一个10分以上的大题.有关解答附录如下.[法1]由rnrnrnnCCnCn111)1(1)1(1知,可用合项的办法,将na的和式逐步合项.221)1(1130112131nnnCnnCa11221242322)1(1)1(1)1(11514131nnnnCnCnCnnCCCC11121242322)1(111514131nnnCnnCnCCCC11222)1(13131nCnCC111)1(121nCnCnn)1(12121第3页共138页[法2]第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和,即231241302)1(11514131nnnnnCnnCCCCa根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项1)1(1nnCn,则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和,结合给出的数表可逐次向上求和为21,故1)1(121nnnCna,从而21)1(121limlim1nnnnnCna[法3](2)将1rx代入条件式,并变形得rnrnrnCnnCCn)1(11)1(111取,1r令,,,3,2nn得1211223121)12(131CCC1312234131)13(1121CCC,1413245141)14(1301CCC………1111211)1(11nnnnCCnnC1112)1(11)1(1nnnCnnCCn以上诸式两边分别相加,得)1(121nnan21[说明]以上三法,都是对解答题而言.如果用在以上填空题中,则是杀鸡动用了牛刀.为此我们认识到“芝麻开门,点到成功”在使用对象上的真正意义.●对应训练1.如图把椭圆1162522yx的长轴AB分成8份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______.2.如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,P,Q分别是侧棱AA1,CC1上的点,且A1P=CQ,则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为.第4页共138页●参考解答1.找“点”——椭圆的另一个焦点F2.连接P1F2、P2F2、…、P7F2,由椭圆的定义FP5+P5F2=2a=10如此类推FP1+P1F2=FP2+P2F2=…=FP7+P7F2=7×10=70由椭圆的对称性可知,本题的答案是70的一半即35.2.找“点”——动点P、Q的极限点.如图所示,令A1P=CQ=0.即动点P与A1重合,动点Q与C重合.则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B,四棱锥蜕化为三棱锥C—A1B1C1.显然31111—CBACVV棱柱.∴111—CBACV∶BBAACV11—=21于是奇兵天降——答案为21.[点评]“点到成功”的点,都是非一般的特殊点,它能以点带面,揭示整体,制约全局.这些特殊点,在没被认识之前,往往是人们的盲点,只是在经过点示之后成为亮点的.这个“点”字,既是名词,又是动词,是“点亮”和“亮点”的合一.第2计西瓜开门滚到成功●计名释义比起“芝麻”来,“西瓜”则不是一个“点”,而一个球.因为它能够“滚”,所以靠“滚到成功”.球能不断地变换碰撞面,在滚动中能选出有效的“触面”.数学命题是二维的.一是知识内容,二是思想方法.基本的数学思想并不多,只有五种:①函数方程思想,②数形结合思想,③划分讨论思想,④等价交换思想,⑤特殊一般思想.数学破题,不妨将这五种思想“滚动”一遍,总有一种思想方法能与题目对上号.●典例示范[题1]对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f(x)0,则必有A.f(0)+f(2)2f(1)B.f(0)+f(2)≤2f(1)C.f(0)+f(2)≥2f(1)D.f(0)+f(2)2f(1)[分析]用五种数学思想进行“滚动”,最容易找到感觉应是③:分类讨论思想.这点在已条件(x-1)f'(x)≥0中暗示得极为显目.其一,对f'(x)有大于、等于和小于0三种情况;其二,对x-1,也有大于、等于、小于0三种情况.因此,本题破门,首先想到的是划分讨论.第5页共138页[解一](i)若f'(x)≡0时,则f(x)为常数:此时选项B、C符合条件.(ii)若f'(x)不恒为0时.则f'(x)≥0时有x≥1,f(x)在,1上为增函数;f'(x)≤0时x≤1.即f(x)在1,上为减函数.此时,选项C、D符合条件.综合(i),(ii),本题的正确答案为C.[插语]考场上多见的错误是选D.忽略了f'(x)≡0的可能.以为(x-1)f'(x)≥0中等号成立的条件只是x-1=0,其实x-1=0与f'(x)=0的意义是不同的:前者只涉x的一个值,即x=1,而后是对x的所有可取值,有f'(x)≡0.[再析]本题f(x)是种抽象函数,或者说是满足本题条件的一类函数的集合.而选择支中,又是一些具体的函数值f(0),f(1),f(2).因此容易使人联想到数学⑤:一般特殊思想.[解二](i)若f'(x)=0,可设f(x)=1.选项B、C符合条件.(ii)f'(x)≠0.可设f(x)=(x-1)2又f'(x)=2(x-1).满足(x-1)f'(x)=2(x-1)2≥0,而对f(x)=(x-1)2.有f(0)=f(2)=1,f(1)=0选项C,D符合条件.综合(i),(ii)答案为C.[插语]在这类f(x)的函数中,我们找到了简单的特殊函数(x-1)2.如果在同类中找到了(x-1)4,(x-1)34,自然要麻烦些.由此看到,特殊化就是简单化.[再析]本题以函数(及导数)为载体.数学思想①——“函数方程(不等式)思想”.贯穿始终,如由f(x)=0找最值点x=0,由f(x)0(0)找单调区间,最后的问题是函数比大小的问题.由于函数与图象相联,因此数形结合思想也容易想到.[解三](i)若f(0)=f(1)=f(2),即选B,C,则常数f(x)=1符合条件.(右图水平直线)(ii)若f(0)=f(2)f(1)对应选项A.(右图上拱曲线),但不满足条件(x-1)f(x)≥0若f(0)=f(2)f(1)对应选项C,D(右图下拱曲线).则满足条件(x-1)f(x)≥0.[探索]本题涉及的抽象函数f(x),没有给出解析式,只给出了它的一个性质:(x-1)f(x)≥0,并由此可以判定f(0)+f(2)≥f(1).自然,有这种性质的具体函数是很多的,我们希望再找到一些这样的函数.[变题]以下函数f(x),具有性质(x-1)f(x)≥0从而有f(0)+f(2)≥2f(1)的函数是A.f(x)=(x-1)3B.f(x)=(x-1)21C.f(x)=(x-1)35D.f(x)=(x-1)20052006第6页共138页0[解析]对A,f(0)=-1,f(2)=1,f(1)=0,不符合要求;对B,f(0)无意义;对C,f(0)=-1,f(2)=1,f(1)=0,不符合要求;答案只能是D.对D,f(0)=1,f(1)=0,f(2)=1.且f(x)=20052006(x-1)20051使得(x-1)f'(x)=(x-1)20052006(x-1)20051≥0.[说明]以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数.如f(x)=(x-1)122mn,其中m,n都是正整数,且n≥m.[点评]解决抽象函数的办法,切忌“一般解决”,只须按给定的具体性质“就事论事”,抽象函数具体化,这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.[题2]已知实数x,y满足等式369422yx,试求分式5xy的最值。[分析]“最值”涉及函数,“等式”连接方程,函数方程思想最易想到.[解一](函数方程思想运用)令kxy5y=k(x-5)与方程369422yx联立消y,得:03625990)94(2222kxkxk根据x的范围3,3x应用根的分布得不等式组:3)49(2903036259990)49(9)3(036259990)49(9)3(0)36259)(49(4)90(22222222222kkkkkfkkkfkkk解得2121k即21≤5xy≤21即所求的最小值为21,最大值为21.[插语]解出21≤5xy≤21,谈何易!十人九错,早就应该“滚开”,用别的思想方法试试.[解二](数形结合思想运用)由369422yx得椭圆方程14922yx,5xyk看成是过椭圆上的点(x,y),(5,0)的直第7页共138页线斜率(图右).联立)5(369422xkyyx得03625990)94(2222kxkxk令0得21k,故5xy的最小值为21,最大值为21.[插语]这就是“滚动”的好处,解二比解一容易多了.因此,滚动开门,不仅要善于“滚到”,还要善于“滚开”.[点评]“西瓜开门”把运动学带进了考场解题.滚动能克服解题的思维定势.解题时,要打破