二次函数中的存在性问题(平行四边形)

二、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）1.【08湖北十堰】已知抛物线baxaxy22与x轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．解：⑴对称轴是直线：1x，点B的坐标是(3,0)．……2分说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B(3,0)，∴AB＝4．∴．ABPC242121在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，∴．POPCOC3122222∴b＝．3………………………………3分当01，yx时，，aa032∴．a33………………………………4分∴．xxy3332332………………5分⑶存在．……………………………6分理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为),(yxM．①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，3OCy．∴x＝±4．∴点M的坐标为)3,4()3,4(或M．…9分说明：少求一个点的坐标扣1分．②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝3．∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．∴点M的坐标为(2,3)M．……………………………12分说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为123(4,3),(4,3),(2,3)MMM．说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。2.【09浙江湖州】已知抛物线22yxxa（0a）与y轴相交于点A，顶点为M.直线12yxa分别与x轴，y轴相交于BC，两点，并且与直线AM相交于点N.(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则MN，，，；(2)如图，将NAC△沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；(3)在抛物线22yxxa（0a）上是否存在一点P，使得以PACN，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.（1）411133MaNaa，，，.……………4分（2）由题意得点N与点N′关于y轴对称，N4133aa，，将N′的坐标代入22yxxa得21168393aaaa，10a（不合题意，舍去），294a.……………2分334N，，点N到y轴的距离为3.904A，，N334，，直线AN的解析式为94yx，它与x轴的交点为904D，，点D到y轴的距离为94.1919918932222416ACNACDADCNSSS△△四边形.……………2分（3）当点P在y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC，把N向上平移2a个单位得到P，坐标为4733aa，，代入抛物线的解析式，得：27168393aaaa10a（不舍题意，舍去），238a，12P7，8.……………2分当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，OAOCOPON，．第（2）题xyBCODAMNN′xyBCOAMNP1P2备用图P与N关于原点对称，4133Paa，，将P点坐标代入抛物线解析式得：21168393aaaa，10a（不合题意，舍去），2158a，5528P，．……………2分存在这样的点11728P，或25528P，，能使得以PACN，，，为顶点的四边形是平行四边形．二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）1．【09福建莆田】已知，如图抛物线23(0)yaxaxca与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵对称轴3322axa………1分又∵OC=3OB=3，0a，∴C（0，－3）………2分方法一：把B(1,0)、C(0，－3)代入23yaxaxc得：330caac解得：334ac，∴239344yxx…………………4分方法二：∵B（1，0），∴A(-4，0)可令(4)(1)yaxx把C(0，-3)代入得：34a∴3(4)(1)4yxx………………4分239344xx（2）方法一：过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N。∵ABCACDABCDSSS四边形＝＝15115()2222DMANONDM＝……………5分∵A(-4，0)，C(0，-3)设直线AC的解析式为ykxb代入求得：334yx……………6分令239(3)44Dxxx，，3(3)4Mxx，2233933(3)(2)34444DMxxxx…………7分当2x时，DM有最大值3此时四边形ABCD面积有最大值272。…………8分方法二：过点D作DQ⊥y轴于Q，过点C作1CC∥x轴交抛物线于1C，从图象中可判断当嗲D在1CC下方的抛物线上运动时，四边形ABCD才有最大值。则OBCDQCABCDAOQDSSSS四边形梯形＝－=311(4)(3)222DQOQDQOQ=33222OQDQ…………5分令239(3)44Dxxx，则2233933272(3)(2)244222ABCDSxxxx四边形＝…………7分当2x时，四边形ABCD面积有最大值272。…………8分（3）如图所示，讨论：①过点C作1CP∥x轴交抛物线于点1P，过点1P作11PE∥AC交x轴于点1E，此时四边形11ACPE为平行四边形，…………9分∵C(0，-3)令2393344xx得：1203xx，∴13CP。∴1(33)P，2.【09福建南平】已知抛物线：xxy22121（1）求抛物线1y的顶点坐标.（2）将抛物线1y向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y，求抛物线2y的解析式.（3）如下图，抛物线2y的顶点为P，x轴上有一动点M，在1y、2y这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.【提示：抛物线cbxaxy2（a≠0）的对称轴是，abx2顶点坐标是abacab44,22】解：（1）依题意0,2,21cba……………1分∴2)21(222ab，2)21(4204422abac……3分∴顶点坐标是（2，2）………………………4分（2）根据题意可知y2解析式中的二次项系数为21…………………5分xyy12345678954321-1-2-3-41y2-1且y2的顶点坐标是（4，3）……………………6分∴y2＝－3)4(212x，即：y2＝54212xx……8分（3）符合条件的N点存在……………………………………9分如图：若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OP∥MN，且MNOP∴BMNPOA，作xPA轴于点A，xNB轴于点B∴090MBNPAO，则有NMBPOA（AAS）∴BNPA∵点P的坐标为（4,3）∴3PANB……10分∵点N在抛物线1y、2y上，且P点为1y、2y的最高点∴符合条件的N点只能在x轴下方①点N在抛物线1y上，则有：32212xx解得：102x或102x…………………………………………………11分②点N在抛物线2y上，则有：33)4(212x解得：324x或324x…………………13分∴符合条件的N点有四个：)3,324();3,102();3,324();3,102(4321NNNN……………………………………………14分②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形得边或对角线1．【07浙江义乌】如图，抛物线223yxx与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）令y=0，解得11x或23x（1分）∴A（-1，0）B（3，0）；（1分）将C点的横坐标x=2代入223yxx得y=-3，∴C（2，-3）（1分）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），（1分）E（2(,23)xxx（1分）∵P点在E点的上方，PE=22(1)(23)2xxxxx（2分）∴当12x时，PE的最大值=94（1分）（3）存在4个这样的点F，当AF为平行四边形的边时：1234(1,0),(3,0),(47),(47)FFFF当AF为平行四边形的对角线时：1234(1,0),(3,0),(47),(47)FFFFxyy12345678954321-1-2-3-41y2-12．【09辽宁抚顺】已知：如图所示，关于x的抛物线2(0)yaxxca与x轴交于点(20)A，、点(60)B，，与y轴交于点C．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存在以AMPQ、、、为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）根据题意，得4203660acac·····································1分解得143ac·········································3分抛物线的解析式为2134yxx········4分顶点坐标是（2，4）·······················································································5分（2）(43)D，……………………………………6分设直线AD的解析式为(0)ykxbk直线经过点(20)A