中考数学压轴题解题策略：相似三角形的存在性问题

相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．例题解析例❶如图1-1，抛物线213482yxx与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C．动直线EF（EF//x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．是否存在t，使得△BPF与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．图1-1【解析】△BPF与△ABC有公共角∠B，那么我们梳理两个三角形中夹∠B的两条边．△ABC是确定的．由213482yxx，可得A(4,0)、B(8,0)、C(0,4)．于是得到BA＝4，BC＝45．还可得到12CECOEFOB．△BPF中，BP＝2t，那么BF的长用含t的式子表示出来，问题就解决了．在Rt△EFC中，CE＝t，EF＝2t，所以5CFt．因此4555(4)BFtt．于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程：①当BABPBCBF时，42455(4)tt．解得43t（如图1-2）．②当BABFBCBP时，45(4)245tt．解得207t（如图1-3）．图1-2图1-3例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的解析式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．图2-1【解析】△ABC与△AOM中相等的一组角在哪里呢？本题由简到难，层层深入．第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第（2）题求∠AOM的大小作铺垫；求得了∠AOM的大小，第（3）题暗示了要在△ABC中寻找与∠AOM相等的角．（1）如图2-2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．容易得到A(1,3)．再由A(1,3)、B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为232333yxx．（2）由2232333(1)3333yxxx，得顶点M3(1,)3．所以3tan3BOM．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．图2-2（3）由A(1,3)、B(2,0)，可得∠ABO＝30°．因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．所以△ABC与△AOM相似，存在两种情况：①当3BAOABCOM时，23233BABC．此时C(4,0)（如图2-3）．②当3BCOABAOM时，33236BCBA．此时C(8,0)（如图2-4）．图2-3图2-4例❸如图3-1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点D，顶点为C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．图3-1【解析】△AMN是直角三角形，因此必须先证明△BCD是直角三角形．一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程．（1）抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3．（2）由y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，得D(0,－3)，C(2,1)．如图3-2，由B(3,0)、D(0,－3)、C(2,1)，可知∠CBO＝45°，∠DBO＝45°．所以∠CBD＝90°，且21332BCBD．图3-2图3-3图3-4设点M、N的横坐标为x，那么NM＝－yM，而NA的长要分N在A的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：当N在A右侧时，NA＝x－1，分两种情况列方程：①当3NABDNMBC时，13(1)(3)xxx．解得103x．此时M107(,)39（如图3-3）．②当13NABCNMBD时，11(1)(3)3xxx．解得x＝6．此时M(6,－15)（如图3-5）．当N在A左侧时，NA＝1－x，也要分两种情况列方程：①当3NABDNMBC时，13(1)(3)xxx．解得83x＞1，不符合题意（如图3-4）．②当13NABCNMBD时，11(1)(3)3xxx．解得x＝0，此时M(0,－3)（如图3-6）．图3-5图3-6例❹如图4-1，在平面直角坐标系中，A(8,0)，B(0,6)，点C在x轴上，BC平分∠OBA．点P在直线AB上，直线CP与y轴交于点F，如果△ACP与△BPF相似，求直线CP的解析式．图4-1【解析】首先求得点C(3,0)．△ACP与△BPF中，相等的角在哪里啊？①如图4-2，当点P在线段AB上时，△ACP与△BPF中，∠APC与∠BPF是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？因此CP与AB是垂直的．可以求得F(0,－4)，于是直线CF(CP)为443yx．②如图4-3，当点P在AB的延长线上时，△ACP与△BPF有公共角∠P．于是∠OFC＝∠PFB＝∠A，可以求得F(0,4)，因此直线CF(CP)为443yx．③如图4-4，当点P在BA的延长线上时，∠B与∠PCA不可能相等．在△AOB中，根据大边对大角，∠B＞∠BAO；∠BAO又是△PCA的一个外角，∠BAO＞∠PCA．图4-2图4-3图4-4例❺如图5-1，二次函数y＝x2＋3x的图象经过点A(1,a)，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C(0,2)，直线AC交抛物线于点B，连结OA、OB、OD、BD．求坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；图5-1【解法一】点A、D、B都是确定的，可以求得A(1,4)，D(－4,4)，B(－2,－2)．所以17AO，22BO，35AB，42DO．△EOD∽△AOB，对应边已经确定，因此我们可以根据判定定理3列方程．由EOODDEAOOBBA，得42172235EODE．所以217EO，65DE．设点E的坐标为(x,y)，根据EO2＝68，DE2＝180，列方程组222268,(4)(4)180.xyxy解得118,2,xy222,8,xy所以点E的坐标为(8,－2)或(－2,8)．上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的位置关系．【解法二】如图5-2，△AOB是确定的，△AOB与△EOD有公共点O，OB∶OD＝1∶2，∠BOD＝90°．如果△EOD∽△AOB，我们可以把△AOB绕着点O顺时针旋转，使得点B′落在OD上，此时旋转角为90°，点B′恰好落在OD的中点．按照这个运动规则，点A(1,4)绕着点O顺时针旋转90°，得到点A′(4,－1)，点A′是线段OE的中点，因此点E的坐标为(8,－2)．如图5-3，点E(8,－2)关于直线OD（即直线y＝－x）对称的点为E′(2,－8)．图5-2图5-3例❻如图6-1，在△ABC中，AB＝AC＝42，BC＝8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．延长BA交⊙A于点D，连结AP交⊙A于点E，连结DE并延长交BC于点F．设点P运动的时间为t秒，当△ABP与△FBD相似时，求t的值．图6-1【解析】△ABC是等腰直角三角形，⊙A是确定的，先按照题意把图形补充完整．如图6-2，容易发现△ABP与△FBD有公共角∠B，如果根据对应边成比例列方程BABDBPBF或BABFBPBD，其中BA＝42，BP＝t，BD＝42＋2，但是用含t的式子表示BF困难重重啊！图6-2图6-3图6-4我们另起炉灶，按照判定定理1来解决．△ABP与△FBD有公共角∠B，我们以∠D为分类标准，分两种情况讨论它们相似：第一种情况，如图6-3，∠BAP＝∠D是不可能的，这是因为∠BAP是等腰三角形ADE的外角，∠BAP＝2∠D．第二种情况，如图6-4，当∠BPA＝∠D时，在△ABP中，由于∠BAP＝2∠D＝2∠BPA，因此45°＋3∠BPA＝180°．解得∠BPA＝45°．此时△ABP是等腰直角三角形，P与C重合，所以t＝8．解答这道题目，如果选取点P的3个不同位置，按照题意画图，可以帮助我们探究．在讨论第二种情况∠BPA＝∠D时，我们容易被已知图6-1给定的点P的位置所误导，以为图6-2中“锐角∠D”与“钝角∠BPA”不可能相等．