高中数学不等式归纳讲解

第三章不等式定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。3-1不等式的最基本性质①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z；③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y＋z；④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则）3-2不等式的同解原理①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。②如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式F（x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。③如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（x）G（x）同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H(x)F（x）＞H（x）G（x）同解。④不等式F（x）G（x）＞0与不等式0)x(G0)x(F或0)x(G0)x(F同解不等式解集表示方式F(x)0的解集为x大于大的或x小于小的F(x)0的解集为x大于小的或x小于大的3-3重要不等式3-3-1均值不等式1、调和平均数：)a1...a1a1(nHn21n2、几何平均数：n1n21n)a...aa(G3、算术平均数：n)aaa(An21n4、平方平均数：n)a...aa(Q2n2221n这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qna1、a2、…、an∈R+，当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号3-3-1-1均值不等式的变形(1)对正实数a,b，有2abba22(当且仅当a=b时取“=”号)(2)对非负实数a,b，有ab2ba(6)对非负数a,b，有ab)2ba(ba222(7)若,,abcR，有abc≥33abc（等号仅当abc时成立）(8)对非负数a,b,c，有acbcabcba222(9)对非负数a,b，2ba2baab222b1a13-3-1-1最值定理当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。均值不等式求最值主要方法：1.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.2.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.3-3-2权方和不等式mn3211mn321mn1mnm31m3m21m2m11m1)b...bb(b)a...aaa(ba....bababaa,b,n为正整数。m为正数。3-4绝对值不等式|a+b|≤|a|+|b|||||||abab3-5不等式例题解析3-5-1绝对值不等式1、求2|55|1xx的解2、右边的常数变为代数式(1)|x+1|2－x；(2)|2x－2x－6|3x形如|()fx|()gx，|()fx|()gx型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：①|()fx|()gx－()gx()fx()gx②|()fx|()gx()fx()gx或()fx－()gx3、两个绝对值不等式解不等式（1）|x－1||x+a|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜5.形如|()fx||()gx|型不等式1）此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|()fx||()gx|22()()fxgx[()()][()()]fxgxfxgx02）所谓零点分段法，是指：若数1x，2x，……，nx分别使含有|x－1x|，|x－2x|，……，|x－nx|的代数式中相应绝对值为零，称1x，2x，……，nx为相应绝对值的零点，零点1x，2x，……，nx将数轴分为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。例题．不等式|x+3|-|2x-1|2x+1的解集为。解：|x+3|-|2x-1|=)3(4)213(24)21(4xxxxxx4、含参数绝对值不等式解关于x的不等式34422mmmxx［解题］原不等式等价于3|2|mmx当03m即3m时，)3(232mmxmmx或∴333mxmx或当03m即3m时，0|6|x∴x6当03m即3m时，xR方法归纳：形如|()fx|a，|()fx|a(aR)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：①当a0时，|()fx|a－a()fxa；|()fx|a()fxa或()fx－a；②当a=0时，|()fx|a无解，|()fx|a()fx≠0③当a0时，|()fx|a无解，|()fx|a()fx有意义。4、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题若不等式|x－4|+|3－x|a的解集为空集，求a的取值范围。［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a+b|≤|a|+|b|，便把问题简化。［解题］解法一(1)当a≤0时，不等式的解集是空集。(2)当a0时，先求不等式|x－4|+|3－x|a有解时a的取值范围。令x－4=0得x=4，令3－x=0得x=3①当x≥4时，原不等式化为x－4+x－3a，即2x－7a解不等式组474272xaxxa，∴a1②当3x4时，原不等式化为4－x+x－3a得a1③当x≤3时，原不等式化为4－x+3－xa即7－2xa解不等式377337222xaaxxa，∴a1综合①②③可知，当a1时，原不等式有解，从而当0a≤1时，原不等式解集为空集。由(1)(2)知所求a取值范围是a≤1解法二由|x－4|+|3－x|的最小值为1得当a1时，|x－4|+|3－x|a有解从而当a≤1时，原不等式解集为空集。解法三：∵a|x－4|+|3－x|≥|x－4+3－x|=1∴当a1时，|x－4|+|3－x|a有解从而当a≤1时，原不等式解集为空集。方法总结：1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。2）fxa有解minafx；fxa解集为空集minafx；这两者互补。fxa恒成立maxafx。fxa有解minafx；fxa解集为空集minafx；这两者互补。fxa恒成立maxafx。fxa有解maxafx；fxa解集为空集maxafx；这两者互补。fxa恒成立minafx。fxa有解maxafx；fxa解集为空集maxafx；这两者互补。fxa恒成立minafx。6、绝对值三参数不等式问题已知函数2()(,,)fxaxbxcabcR，当[1,1]x时|()|1fx，求证：(1)||1b；(2)若2()(,,)gxbxaxcabcR，则当[1,1]x时，求证：|()|2gx。［思路］本题中所给条件并不足以确定参数a,b,c的值，但应该注意到：所要求的结论不是()bgx或的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用1f、(0)f、1f来表示ba,,c。因为由已知条件得|(1)|1f，|(0)|1f，|(1)|1f。［解题］证明：(1)由11,1[11]2fabcfabcbff，从而有11||[(1)(1)](|(1)||(1)|),|(1)|1,|(1)|1,221||(|(1)||(1)|)1.2bffffffbff(2)由111,1[11],[11],(0),22fabcfabcbffacffcf从而1[11](0)2afff将以上三式代入2()(,,)gxbxaxcabcR，并整理得22222211|()||(0)(1)(1)(1)(1)(1)|2211|(0)(1)||(1)(1)||(1)(1)|2211|(0)|1||(1)||1||(1)||1|221111|1||1||1|1(1)(1)222222gxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxxxxxx收获1）二次函数的一般式cbxaxy2)0(c中有三个参数cba,,.解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.2）本题变形技巧性强，同时运用公式||||||abab，||||||abab及已知条件进行适当的放大。要求同学们做题时要有敏锐的数学观察能力。例题2．已知函数f(x)=21x，a,bR，且ba，求证|f(a)-f(b)||a-b|。分析：要证|||11|22baba，考察左边，是否能产生|a-b|。证明：|f(a)-f(b)|=||||||||11|||11|222222babababababa||||||||||||babababa（其中||122aaa，同理|,|12bb∴||||111122baba）回顾：1、证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们的共同点是证题成功的第一步。此外，综合运用不等式的性质是证题成功的关键。如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及“三角形不等式”等等。2、本题的背景知识与解析几何有关。函数21xy是双曲线，122xy的上支，而||2121xxyy（即|)()(|babfaf），则表示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值。（学过有关知识后），很显然这一斜率的范围是在（-1，1）之间。2．（1）已知不等式|x-3|+|x+1|a，的解集为空集，求a的取值范围；（2）已知不等式|x-3|+|x+1|a有解，求a的取值范围。分析：“有解”即“解集非空”，可见（1）（2）两小题的答案（集合）互为补集（全集为R）当然可以用|x-3|+|x+1|=)1(22)31(4)3(22xxxxx这种“去绝对值”的方法来解，但我们考虑到“三角形不等式”：||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|知|x-3|+|x+1|≥|x-3-x-1|=4这样|x-3|+|x+1|a等价于(*)4|1||3||1||3|xxaxx若（*）解集为，则a≤4，若（*）有解，则a4。解（略）回顾：本题是“绝对值不等式性质定理”（即“三角形不等式”）的一个应用。发展题：（1）已知不等式|x-3|+|x+1|a的解集非空，求a的取值范围。（2）已知不等式|x-3|+|x+1|≤a的解集非空，求a的取值范围。3．已知f(x)的定义域为[0,1]，且f(0)=f(1)，如果对于任意不同的x1,x2∈[0,1]，都有|f(x1)-f(x2)||x1-x2|，求证：|f(x1)-f(x2)|21分析：题设中没有给出f(x)的解析式，这给我们分析f(x)的结构带来困难，事实上，可用的条件只有f(0)=f(1)①，与|f(x1)-f(x2)||x1-