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九年级期末 数学试卷 第１ 页(共６页)北京市西城区２０１７—２０１８学年度第一学期期末试卷九年级数学２０１８.１考生须知１.本试卷共６页ꎬ共三道大题ꎬ２８道小题ꎬ满分１００分ꎬ考试时间１２０分钟ꎮ２.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号ꎮ３.试题答案一律填涂或书写在答题卡上ꎬ在试卷上作答无效ꎮ４.在答题卡上ꎬ选择题、作图题用２Ｂ铅笔作答ꎬ其他试题用黑色字迹签字笔作答ꎮ５.考试结束ꎬ将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回ꎮ一、选择题(本题共１６分ꎬ每小题２分)下面各题均有四个选项ꎬ其中只有一个∙∙是符合题意的.１.如图ꎬ在Ｒｔ△ＡＢＣ中ꎬ∠ＡＣＢ＝９０°ꎬ如果ＡＣ＝３ꎬＡＢ＝５ꎬ那么ｓｉｎＢ等于Ａ.３５Ｂ.４５Ｃ.３４Ｄ.４３２.点Ａ(１ꎬｙ１)ꎬＢ(３ꎬｙ２)是反比例函数ｙ＝－６ｘ图象上的两点ꎬ那么ｙ１ꎬｙ２的大小关系是Ａ.ｙ１ｙ２Ｂ.ｙ１＝ｙ２Ｃ.ｙ１ｙ２Ｄ.不能确定３.抛物线ｙ＝(ｘ－４)２－５的顶点坐标和开口方向分别是Ａ.(４ꎬ－５)ꎬ开口向上Ｂ.(４ꎬ－５)ꎬ开口向下Ｃ.(－４ꎬ－５)ꎬ开口向上Ｄ.(－４ꎬ－５)ꎬ开口向下４.圆心角为６０°ꎬ且半径为１２的扇形的面积等于Ａ.４８πＢ.２４πＣ.４πＤ.２π５.如图ꎬＡＢ是☉Ｏ的直径ꎬＣＤ是☉Ｏ的弦ꎬ如果∠ＡＣＤ＝３４°ꎬ那么∠ＢＡＤ等于Ａ.３４°Ｂ.４６°Ｃ.５６°Ｄ.６６°６.如果函数ｙ＝ｘ２＋４ｘ－ｍ的图象与ｘ轴有公共点ꎬ那么ｍ的取值范围是Ａ.ｍ≤４Ｂ.ｍ４Ｃ.ｍ≥－４Ｄ.ｍ－４７.如图ꎬ点Ｐ在△ＡＢＣ的边ＡＣ上ꎬ如果添加一个条件后可以得到△ＡＢＰ∽△ＡＣＢꎬ那么以下添加的条件中ꎬ不∙正确的是Ａ.∠ＡＢＰ＝∠ＣＢ.∠ＡＰＢ＝∠ＡＢＣＣ.ＡＢ２＝ＡＰＡＣＤ.ＡＢＢＰ＝ＡＣＣＢ８.如图ꎬ抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａ≠０)的对称轴为直线ｘ＝１ꎬ如果关于ｘ的方程ａｘ２＋ｂｘ－８＝０(ａ≠０)的一个根为４ꎬ那么该方程的另一个根为Ａ.－４Ｂ.－２Ｃ.１Ｄ.３九年级期末 数学试卷 第２ 页(共６页)二、填空题(本题共１６分ꎬ每小题２分)９.抛物线ｙ＝ｘ２＋３与ｙ轴的交点坐标为.１０.如图ꎬ在△ＡＢＣ中ꎬＤꎬＥ两点分别在ＡＢꎬＡＣ边上ꎬＤＥ∥ＢＣꎬ如果ＡＤＤＢ＝３２ꎬＡＣ＝１０ꎬ那么ＥＣ＝.１１.如图ꎬ在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ第一象限内的点Ｐ(ｘꎬｙ)与点Ａ(２ꎬ２)在同一个反比例函数的图象上ꎬＰＣ⊥ｙ轴于点ＣꎬＰＤ⊥ｘ轴于点Ｄꎬ那么矩形ＯＤＰＣ的面积等于.１２.如图ꎬ直线ｙ１＝ｋｘ＋ｎ(ｋ≠０)与抛物线ｙ２＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ(ａ≠０)分别交于Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(２ꎬ－３)两点ꎬ那么当ｙ１ｙ２时ꎬｘ的取值范围是.１３.如图ꎬ☉Ｏ的半径等于４ꎬ如果弦ＡＢ所对的圆心角等于１２０°ꎬ那么圆心Ｏ到弦ＡＢ的距离等于.１４.２０１７年９月热播的专题片«辉煌中国———圆梦工程»展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就ꎬ大家纷纷点赞“厉害了ꎬ我的国!”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家ꎬ世界前十座斜拉桥中ꎬ中国占七座ꎬ其中苏通长江大桥(如图１所示)主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图２的主桥示意图中ꎬ两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布ꎬ大桥主跨ＢＤ的中点为Ｅꎬ最长的斜拉索ＣＥ长５７７ｍꎬ记ＣＥ与大桥主梁所夹的锐角∠ＣＥＤ为αꎬ那么用ＣＥ的长和α的三角函数表示主跨ＢＤ长的表达式应为ＢＤ＝(ｍ).图１ 苏通长江大桥 图２ 苏通长江大桥主桥示意图１５.如图ꎬ抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ(ａ≠０)与ｙ轴交于点Ｃꎬ与ｘ轴交于ＡꎬＢ两点ꎬ其中点Ｂ的坐标为Ｂ(４ꎬ０)ꎬ抛物线的对称轴交ｘ轴于点ＤꎬＣＥ∥ＡＢꎬ并与抛物线的对称轴交于点Ｅ.现有下列结论:①ａ０ꎻ②ｂ０ꎻ③４ａ＋２ｂ＋ｃ０ꎻ④ＡＤ＋ＣＥ＝４.其中所有正确结论的序号是.九年级期末 数学试卷 第３ 页(共６页)１６.如图ꎬ☉Ｏ的半径为３ꎬＡꎬＰ两点在☉Ｏ上ꎬ点Ｂ在☉Ｏ内ꎬｔａｎ∠ＡＰＢ＝４３ꎬＡＢ⊥ＡＰ.如果ＯＢ⊥ＯＰꎬ那么ＯＢ的长为.三、解答题(本题共６８分ꎬ第１７－２０题每小题５分ꎬ第２１、２２题每小题６分ꎬ第２３、２４题每小题５分ꎬ第２５、２６题每小题６分ꎬ第２７、２８题每小题７分)１７.计算:２ｓｉｎ３０°＋ｃｏｓ２４５°－ｔａｎ６０°.１８.如图ꎬＡＢ∥ＣＤꎬＡＣ与ＢＤ的交点为Ｅꎬ∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＢ.(１)求证:△ＡＢＥ∽△ＡＣＢꎻ(２)如果ＡＢ＝６ꎬＡＥ＝４ꎬ求ＡＣꎬＣＤ的长.１９.在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ抛物线Ｃ１:ｙ＝－ｘ２＋２ｘ.(１)补全表格:抛物线顶点坐标与ｘ轴交点坐标与ｙ轴交点坐标ｙ＝－ｘ２＋２ｘ(１ꎬ１)(０ꎬ０)(２)将抛物线Ｃ１向上平移３个单位得到抛物线Ｃ２ꎬ请画出抛物线Ｃ１ꎬＣ２ꎬ并直接回答:抛物线Ｃ２与ｘ轴的两交点之间的距离是抛物线Ｃ１与ｘ轴的两交点之间距离的多少倍.九年级期末 数学试卷 第４ 页(共６页)２０.在△ＡＢＣ中ꎬＡＢ＝ＡＣ＝２ꎬ∠ＢＡＣ＝４５°.将△ＡＢＣ绕点Ａ逆时针旋转α度(０°α１８０°)得到△ＡＤＥꎬＢꎬＣ两点的对应点分别为点ＤꎬＥꎬＢＤꎬＣＥ所在直线交于点Ｆ.(１)当△ＡＢＣ旋转到图１位置时ꎬ∠ＣＡＤ＝(用含α的代数式表示)ꎬ∠ＢＦＣ的度数为°ꎻ(２)当α＝４５°时ꎬ在图２中画出△ＡＤＥꎬ并求此时点Ａ到直线ＢＥ的距离.图１图２２１.运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出ꎬ在不考虑空气阻力的条件下ꎬ小球的飞行高度ｈ(ｍ)与它的飞行时间ｔ(ｓ)满足二次函数关系ꎬｔ与ｈ的几组对应值如下表所示.ｔ(ｓ)００.５１１.５２ｈ(ｍ)０８.７５１５１８.７５２０(１)求ｈ与ｔ之间的函数关系式(不要求写ｔ的取值范围)ꎻ(２)求小球飞行３ｓ时的高度ꎻ(３)问:小球的飞行高度能否达到２２ｍ?请说明理由.２２.如图ꎬ在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ双曲线ｙ＝ｋｘ(ｋ≠０)与直线ｙ＝１２ｘ的交点分别为Ａ(ａꎬ－１)ꎬＢ(２ꎬｂ)两点ꎬ双曲线上一点Ｐ的横坐标为１ꎬ直线ＰＡꎬＰＢ与ｘ轴的交点分别为点ＭꎬＮꎬ连接ＡＮ.(１)直接写出ａꎬｋ的值ꎻ(２)求证:ＰＭ＝ＰＮꎬＰＭ⊥ＰＮ.九年级期末 数学试卷 第５ 页(共６页)２３.如图ꎬ线段ＢＣ长为１３ꎬ以Ｃ为顶点ꎬＣＢ为一边的∠α满足ｃｏｓα＝５１３.锐角△ＡＢＣ的顶点Ａ落在∠α的另一边ｌ上ꎬ且满足ｓｉｎＡ＝４５.求△ＡＢＣ的高ＢＤ及ＡＢ边的长ꎬ并结合你的计算过程画出高ＢＤ及ＡＢ边.(图中提供的单位长度供补全图形使用)２４.如图ꎬＡＢ是半圆的直径ꎬ过圆心Ｏ作ＡＢ的垂线ꎬ与弦ＡＣ的延长线交于点Ｄꎬ点Ｅ在ＯＤ上ꎬ∠ＤＣＥ＝∠Ｂ.(１)求证:ＣＥ是半圆的切线ꎻ(２)若ＣＤ＝１０ꎬｔａｎＢ＝２３ꎬ求半圆的半径.２５.已知抛物线Ｇ:ｙ＝ｘ２－２ａｘ＋ａ－１(ａ为常数).(１)当ａ＝３时ꎬ用配方法求抛物线Ｇ的顶点坐标ꎻ(２)若记抛物线Ｇ的顶点坐标为Ｐ(ｐꎬｑ).①分别用含ａ的代数式表示ｐꎬｑꎻ②请在①的基础上继续用含ｐ的代数式表示ｑꎻ③由①②可得ꎬ顶点Ｐ的位置会随着ａ的取值变化而变化ꎬ但点Ｐ总落在的图象上.Ａ.一次函数 Ｂ.反比例函数 Ｃ.二次函数(３)小明想进一步对(２)中的问题进行如下改编:将(２)中的抛物线Ｇ改为抛物线Ｈ:ｙ＝ｘ２－２ａｘ＋Ｎ(ａ为常数)ꎬ其中Ｎ为含ａ的代数式ꎬ从而使这个新抛物线Ｈ满足:无论ａ取何值ꎬ它的顶点总落在某个一次函数的图象上.请按照小明的改编思路ꎬ写出一个符合以上要求的新抛物线Ｈ的函数表达式:(用含ａ的代数式表示)ꎬ它的顶点所在的一次函数图象的表达式ｙ＝ｋｘ＋ｂ(ｋꎬｂ为常数ꎬｋ≠０)中ꎬｋ＝ꎬｂ＝.九年级期末 数学试卷 第６ 页(共６页)２６.在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ抛物线Ｍ:ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ(ａ≠０)经过点Ａ(－１ꎬ０)ꎬ且顶点坐标为Ｂ(０ꎬ１).(１)求抛物线Ｍ的函数表达式ꎻ(２)设Ｆ(ｔꎬ０)为ｘ轴正半轴∙∙∙上一点ꎬ将抛物线Ｍ绕点Ｆ旋转１８０°得到抛物线Ｍ１.①抛物线Ｍ１的顶点Ｂ１的坐标为ꎻ②当抛物线Ｍ１与线段ＡＢ有公共点时ꎬ结合函数的图象ꎬ求ｔ的取值范围.２７.如图１ꎬ在Ｒｔ△ＡＯＢ中ꎬ∠ＡＯＢ＝９０°ꎬ∠ＯＡＢ＝３０°ꎬ点Ｃ在ＯＢ边上ꎬＯＣ＝２ＢＣꎬＡＯ边上的一点Ｄ满足∠ＯＣＤ＝３０°.将△ＯＣＤ绕点Ｏ逆时针旋转α度(９０°α１８０°)得到△ＯＣ′Ｄ′ꎬＣꎬＤ两点的对应点分别为点Ｃ′ꎬＤ′ꎬ连接ＡＣ′ꎬＢＤ′ꎬ取ＡＣ′的中点Ｍꎬ连接ＯＭ.(１)如图２ꎬ当Ｃ′Ｄ′∥ＡＢ时ꎬα＝°ꎬ此时ＯＭ和ＢＤ′之间的位置关系为ꎻ(２)画图探究线段ＯＭ和ＢＤ′之间的位置关系和数量关系ꎬ并加以证明.图１图２备用图２８.在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬＡꎬＢ两点的坐标分别为Ａ(２ꎬ２)ꎬＢ(２ꎬ－２).对于给定的线段ＡＢ及点ＰꎬＱꎬ给出如下定义:若点Ｑ关于ＡＢ所在直线的对称点Ｑ′落在△ＡＢＰ的内部(不含边界)ꎬ则称点Ｑ是点Ｐ关于线段ＡＢ的内称点.(１)已知点Ｐ(４ꎬ－１).①在Ｑ１(１ꎬ－１)ꎬＱ２(１ꎬ１)两点中ꎬ是点Ｐ关于线段ＡＢ的内称点的是ꎻ②若点Ｍ在直线ｙ＝ｘ－１上ꎬ且点Ｍ是点Ｐ关于线段ＡＢ的内称点ꎬ求点Ｍ的横坐标ｘＭ的取值范围ꎻ(２)已知点Ｃ(３ꎬ３)ꎬ☉Ｃ的半径为ｒꎬ点Ｄ(４ꎬ０)ꎬ若点Ｅ是点Ｄ关于线段ＡＢ的内称点ꎬ且满足直线ＤＥ与☉Ｃ相切ꎬ求半径ｒ的取值范围.九年级数学参考答案及评分标准 第１ 页(共６页)北京市西城区２０１７—２０１８学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准２０１８.１一、选择题(本题共１６分ꎬ每小题２分)题号１２３４５６７８答案ＡＣＡＢＣＣＤＢ二、填空题(本题共１６分ꎬ每小题２分)９.(０ꎬ３). １０.４. １１.４. １２.－１ｘ２. １３.２.１４.１１５４ｃｏｓα(或２ＣＥｃｏｓα). １５.②④.１６.１.三、解答题(本题共６８分ꎬ第１７－２０题每小题５分ꎬ第２１、２２题每小题６分ꎬ第２３、２４题每小题５分ꎬ第２５、２６题每小题６分ꎬ第２７、２８题每小题７分)１７.解:２ｓｉｎ３０°＋ｃｏｓ２４５°－ｔａｎ６０°.＝２×１２＋２２æèçöø÷２－３３分＝１＋１２－３４分＝３２－３.５分图１１８.(１)证明:如图１.∵∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＢꎬ∠Ａ＝∠Ａꎬ∴△ＡＢＥ∽△ＡＣＢ.２分(２)解:由(１)得ＡＢＡＣ＝ＡＥＡＢ.３分∴ＡＢ２＝ＡＣＡＥ.∵ＡＢ＝６ꎬＡＥ＝４ꎬ∴ＡＣ＝ＡＢ２ＡＥ＝９.４分∵ＡＢ∥ＣＤꎬ∴△ＣＤＥ∽△ＡＢＥ.图２∴ＣＤＡＢ＝ＣＥＡＥ.∴ＣＤ＝ＡＢＣＥＡＥ＝ＡＢ(ＡＣ－ＡＥ)ＡＥ＝６×５４＝１５２.５分１９.解:(１)(０ꎬ０)ꎬ(２ꎬ０).２分(２)画图见图２.４分２倍.５分２０.解:(１)α－４５°ꎬ４５.２分九年级数学参考答案及评分标准 第２ 页(共６页)图３(２)画图如图３.３分连接ＢＥꎬ设ＡＣ与ＢＥ交于点Ｇ.由题意可知ꎬ∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＥ＝４５°ꎬＡＢ＝ＡＣ＝ＡＥ＝２.