4.1.2-圆的一般方程-数学必修2

4.1.2圆的一般方程思考：1、方程表示什么图形？222410xyxy对方程222410xyxy配方，可得22(1)(2)4xy此方程表示以为圆心，2为半径的圆。(1,2)220xyDxEyF2、是不是形如的方程均可表示圆？请把方程进行配方，观察此方程222460xyxy对方程222460xyxy配方，可得22(1)(2)1xy所以这个方程不表示任何图形。由于不存在点的坐标满足此方程,(,)xy表示什么图形？探究：方程220xyDxEyF在什么条件下表示圆？配方可得：把方程220xyDxEyF22224()()224DEDEFxy2240DEF（1）当时方程220xyDxEyF表示以为圆心，(,)22DE22142DEF为半径的圆。2240DEF（2）当时，22224()()224DEDEFxy只有一解,,22DExy方程它表示一个点(,)22DE2240DEF（3）当时，22224()()224DEDEFxy没有实数解，它不表示任何图形。方程圆的一般方程220xyDxEyF当时，方程表示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.圆心为，半径为2240DEF(,)22DE22142DEF注意：（1）x2和y2系数相同，都不等于0；（2）没有xy这样的二次项.标准方程：图形特征一目了然，明确地指出了圆心和半径；一般方程：突出了代数方程的形式结构，思考：圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？例1：下列方程各表示什么图形?22(1)0xy22(2)2460xyxy222(3)20xyaxb（1）原点(0,0)答案：(2)1211圆心为（，），半径为的圆；2222300.abaab（）当时，圆心为（，），半径为的圆22000.ab当时，表示一个点（，）练习：判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径22(1)2440xyxy22(2)2212440xyxy22(3)26410xyxy22(4)26500xyxy22(5)3520xyxyxy（1）是圆心（1，-2）半径3圆心（3，-1）半径（2）是23（3）不是（4）不是（5）不是答案例2：求过三点并求出圆心坐标和半径．的圆的方程，12(0,0),(1,1),(4,2)OMM解：设圆的方程为220xyDxEyF把点的坐标代入得方程组12(0,0),(1,1),(4,2)OMM02042200FDEFDEF解这个方程组得8,6,0DEF故所求圆的方程为22860xyxy因此所求圆的圆心为(4,3),半径长为22145.2DEF用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤：（2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组；（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（3）解出a,b,r或D,E,F，代入标准方程或一般方程．例3、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.yx.O.（-1，0）B(4,3)M(x,y)A分析：yx.O.（-1，0）B(4,3)M(x,y)A如图，点A的运动引起点M的运动，而点A在圆上运动点A的坐标满足方程22(1)4xy建立点M的坐标与点A的坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程解：设点M的坐标是设点A的坐标是(,),xy00(,).xy由于点B的坐标是(4,3),且点M是线段AB的中点，所以0043,22xyxy于是有0024,23(1)xxyy因为点A在圆上，22(1)4xy所以2200(1)4(2)xy把（1）代入（2）得22(241)(23)4xy整理得2233()()122xy所以点M的轨迹是以为圆心，半径长为1的圆。33(,)22所以点M的轨迹方程是2233()()122xy练习：如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0），当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？xoyθ答案:22(6)4xy以点（6,0）为圆心，半径长为2的圆。线段PA的中点M的轨迹1．圆x2+y2+4x+26y+b2=0与坐标轴相切，那么b可以取的值是（）（A）±2或±13（B）1或2（C）－1或－2（D）－1或1A2．方程x2+2xy+y2+x+y－2=0表示的曲线是（）（A）两条相交直线（B）两条平行直线（C）不是圆也不是直线（D）圆B3．若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a－1=0表示圆，则a的取值范围是。2(2,)34．三角形△ABC的三个顶点A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，则△ABC的外接圆方程是____________________.x2+y2－2x+2y－23=0EyxOCBA5．已知△ABC的边AB长为2a，若BC的中线为定长m，求顶点C的轨迹方程.解：由题意，以AB中点为原点，边AB所在的直线为x轴建立直角坐标系,如图，则A(－a，0)，B(a，0),设C(x，y)，则BC中点为E(,)22xayEyxOCBA因为|AE|=m，所以22()()22xayam化简得(x+3a)2+y2=4m2.由于点C在直线AB上时，不能构成三角形，故去掉曲线与x轴的两个交点，从而所求的轨迹方程是(x+3a)2+y2=4m2.(y≠0)(1)任何一个圆的方程都可以写x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，但是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的曲线不一定是圆,只有在D2+E2-4F0时，表示圆心为,半径为的圆。)2,2(EDFEDr42122（2）利用待定系数法求圆的方程，对于已知条件容易求出圆心坐标和半径或需用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，否则用圆的一般方程。