4.1.2圆的一般方程

4.1.2圆的一般方程222)()(rbyax圆心C(a,b),半径r圆的标准方程复习xyOC(a,b)Arx2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得22222202rbabyaxyx由于a,b,r均为常数FrbaEbDa222,2,2令结论：任何一个圆方程可以写成下面形式动动手结论：任何一个圆方程可以写成下面形式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0问：是不是任何一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0方程表示的曲线是圆呢？结论配方可得：把方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(1)当D2+E2-4F0时,表示以（）为圆心，以()为半径的圆.2,2EDFED4212222224()()224DEDEFxy(2)当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2y=-E/2，表示一个点（）.2,2ED动动脑(3)当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所以不表示任何图形.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2+E2-4F0)2.没有xy这样的二次项一般方程的特点：1.x2与y2系数相同并且不等于0；3.D2+E2-4F0判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径(3)x2+y2-2x+4y-4=0(5)2x2+2y2-12x+4y=0(1)x2+2y2-6x+4y-1=0(4)x2+y2-12x+6y+50=0(2)x2+y2-3xy+5x+2y=0是圆心（1，-2）半径3是圆心（3，-1）半径10不是不是不是练习例1求过点的圆的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.)2,4(),1,1(),0,0(NMO解:设所求圆的方程为220xyDxEyF其中D,E,F待定.由题意得020,42200FDEFDEF解得86.0DEF于是所求圆的方程为22860.xyxy将这个方程配方，得.25)3()4(22yx故所求圆的圆心坐标是半径为),3,4(.58,6,0,DEF2214,3,45,222DEDEF典例精析xyoMN(1)依题意选择标准方程或一般方程(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组(3)解出a,b,r或D,E,F，代入标准方程或一般方程求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的步骤是：例题小结：变式训练1求经过三点（0,0），（2，-2），（4,0）的圆的方程解设所求圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0由题意得：02016408+2-,+FDEFDF解得400.DEF于是所求圆的方程为:x2+y2-4x=0例2、如下图，已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.xy解设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0),由于点B的坐标是(4,3),且点M是AB的中点,所以000043,,2224,23xyxyxxyy于是有因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+y02=4……………………②………①把①代入②，得22241234,xy2231,2y3整理，得线段AB的中点M的轨迹方程是x-2例2动画如果轨迹动点M(x,y)依赖于另一动点A(x0,y0),而A(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先列出关于x,y,x0,y0的方程组,利用x,y表示出x0,y0把x0,y0代入已知曲线方程便得动点M的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法叫“相关点法”。如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0），当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹方程是什么？xoy变式训练2动画演示答案:(x-6)2+y2=41.圆的一般方程的定义及特点3.用待定系数法，求圆的一般方程0402222FEDFEyDxyx配方展开2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程标准方程(圆心,半径)课堂小结4.用相关点法，求点的轨迹方程达标检测1.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：（1）x2+y2-6x=0(2)x2+y2+2by=0（3）x2+y2-2ax-2ay+3a2=02.判断下列方程分别表示什么图形：（1）x2+y2=0(2)x2+y2-2x+4y-6=0(3)x2+y2+2ax-b2=03作业:课本P124必做A组1,2题选做B组1题