九年级奥数：一元二次方程的应用

第1页共5页九年级奥数：一元二次方程的应用方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，许多问题可转化为解一元二次方程，研究一元二次方程根的性质而获解，一元二次方程的应用现阶段主要有以下两个方面：1．求代数式的值；2．列二次方程解应用题．列二次方程解应用题也要经过设、列、解、答等四个步骤，解题的关键是认真审题、分析数量关系，恰当设未知数，将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题，进而建立方程模型，解决问题．问题解决例1若，则x+y的值为____________．例2自然数n满足这样的n的个数是（）．一A．18．2C．3D．4例3将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．例4某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？例5如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，点E在下底边BC上，点F在腰AB上．（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由．28,1422xxyyyxyx16162472)22()22(2nnnnnn第2页共5页数学冲浪知识技能广场1．小萍要在一幅长90厘米、宽40厘米的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图（如图），使风景画的面积是整个挂图面积的54％．设金色纸边的宽为x厘米，根据题意所列方程为（）．2．某商品经过两次降价，由每件100元调至81元，则平均每次降价的百分率是（）．A．8.5％B．9％。C．9.5％D．10％3．一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）的关系式是h=5（t2）（t+1），求运动员起跳到入水所用的时间是（）秒．A．5B．1C．1D．24．把图折叠成正方体，如果相对应的值相等，则一组x、y的值是__________．5．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽（部分参考数据：322=1024，522=2704，482=2304）．4090%54)40)(90.(xxA4090%54)240)(290.(xxB4090%54)240)(90.(xxC4090%54)40)(290.(xxD第3页共5页6．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准．某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？7．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？·8．如图，某农户打算建造一个花圃，种植两种不同的花卉供应城镇市场，这时需要用长为24米的篱笆，靠着一面墙（墙的最大可用长度a是10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求x与S的函数关系式；（2）若要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（3）花圃的面积能达到48m2吗？如果能，请求出此时AB的长；如果不能，请说明理由．9．小资料：财政预计，三峡工程投资需2039亿元，由静态投资901亿元、贷款利息成本a亿元、物价上涨差价（a+360）亿元三部分组成．但事实上，因国家调整利率，使贷款利息减少了15.4％；因物价上涨幅度比预测要低，使物价上涨差价减了18.7%．2004年三峡电站发电量为392亿度，预计2006年的发电量为573亿度，这两年的发电量年平均增长率相同．若年发电量按此幅度增长，到2008年全部机组投入发电时，当年的发电量刚好达到三峡电站设计的最高年发电量．从2009年起，拟将三峡电站和葛洲坝电站的发电效益全部用于返还三峡工程投资成本．葛洲坝年发电量为270亿度，国家规定电站出售电价为0.25元／度．（1）因利息调整和物价上涨幅度因素使三峡工程总投资减少了多少亿元？（结果精确到1亿元）．（2）请你通过预测：大约到哪一年可以收回三峡工程的投资成本？思想方法天地10．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：第4页共5页（1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与n（n表示第n个图形）的函数关系式；（2）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；（3）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（2）中，共需花多少元钱购买瓷砖？（4）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情形？请通过计算说明为什么？11．机械加工需要对加工设备进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60％，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60％．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6％．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？12．某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入．因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价值应是多少元？13．象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘，记分办法是胜一盘得1分，和一盘各得0.5分，负一盘得0分．已知其中两名选手共得8分，其他人的平均分为整数．求参加此次比赛的选手共有多少人？应用探究乐园14．在一次活动课中，老师请每位同学自己做一个如图所示的有盖的长方体纸盒．长方体的长、宽、高分别为xcm、ycm、zcm，小明在展示自己做的纸盒时，告诉同学们说：“我做的纸盒的长、宽、高都是正整数，且经测量发现它们满足xy=xz+3，yz=xy+xz7．”请同学们算一算，做一个这样的纸盒至少需要多少平方厘米的纸板（接缝不算）？’第5页共5页