高中数学专题之集合的概念与运算

选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库第一讲集合的概念与运算【考点透视】1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.2．了解空集和全集的意义.3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.5．注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.【例题解析】题型1．正确理解和运用集合概念理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2}D．{y|y≥1}思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组21,1.yxyx0,1,xy得1,2.xy或从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．PB．QC．D．不知道思路启迪：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y=x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了．解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y=x2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴应选B．例3.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）选校网．P∩Q=B．PQC．P=QD．PQ思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．解：正确解法应为：P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此P∩Q=．∴应选A．例4若}032|{}1|{22xxxBxxA，，则BA=（）A．{3}B．{1}C．D．{－1}思路启迪：{|1,1}{|1,3},1.AxxxBxxxAB，解：应选D．点评：解此类题应先确定已知集合．题型2．集合元素的互异性集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．例5.若A={2，4,a3－2a2－a＋7},B={1,a＋1,a2－2a＋2,－12(a2－3a－8),a3＋a2＋3a＋7}，且A∩B={2，5}，则实数a的值是________．解答启迪：∵A∩B={2，5}，∴a3－2a2－a＋7=5,由此求得a=2或a=±1．A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．当a=1时，a2－2a＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1．当a=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a=－1．当a=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．故a=2为所求．例6.已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，则c的值是______．思路启迪：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－12．选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正．例7.已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－ax＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为______．思路启迪：由A∪B=ABA而推出B有四种可能，进而求出a的值．解：∵A∪B=A，,BA∵A={1，2}，∴B=或B={1}或B={2}或B={1，2}．若B=，则令△0得a∈；若B={1}，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；若B={2}，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根，∴a∈；若B={1，2}则令△0得a∈R且a≠2，把x=1代入方程得a∈R，把x=2代入方程得a=3．综上a的值为2或3．点评：本题不能直接写出B={1，a－1}，因为a－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．例8.设集合A={a|a=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________．解：任设a∈A，则a=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)，∴n∈Z,∴n＋1∈Z.∴a∈B,故AB．①又任设b∈B，则b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z),∵k∈Z,∴k－1∈Z.∴b∈A，故BA②由①、②知A=B．点评：这里说明a∈B或b∈A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理．例9若A、B、C为三个集合，CBBA，则一定有（）A.CAB.ACC.CAD.A[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.解：由ABBC知，,ABBABCABC，故选A.例10．设集合{1,2}A,则满足{1,2,3}AB的集合B的个数是（）A.1B.3C.4D.8[考查目的]本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想.解：{1,2}A，{1,2,3}AB，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A的子集个数问题，所以满足选校网个.故选C.例11．记关于x的不等式01xax的解集为P，不等式11x≤的解集为Q．（错误!未找到引用源。）若3a，求P；（错误!未找到引用源。）若QP，求正数a的取值范围．思路启迪：先解不等式求得集合P和Q．解：（错误!未找到引用源。）由301xx，得13Pxx．（错误!未找到引用源。）1102Qxxxx≤≤≤．由0a，得1Pxxa，又QP，所以0a，即a的取值范围是(2)，．题型4.要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．例12.已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，则实数a组成的集合C是________．解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．这个结果是不完整的，上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A，当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．例13．已知集合|1Axxa≤，2540Bxxx≥．若AB，则实数a的取值范围是．思路启迪：先确定已知集合A和B．解：|111,Axxaxaxa≤≤+25404,1.Bxxxxxx≥≥14,11.23.aax故实数a的取值范围是(23)，．例14.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R=，则实数m的取值范围是_________．思路启迪：从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩R=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围．解：由A∩R=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，2240,20,mm或△=(m＋2)2－40．解得m≥0或－4m0，即m－4．选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库点评：此题容易发生的错误是由A∩R=只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言．例15.已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，则实数p的取值范围是________．解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使BA，只须2133.215ppp∴p的取值范围是－3≤p≤3．上述解答忽略了空集是任何集合的子集这一结论，即B=时，符合题设．应有：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2．由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴2≤p≤3.②当B=时，即p＋12p－1p＜2．由①、②得：p≤3．点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．题型5．要注意利用数形结合解集合问题集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地