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郑州轻工业学院最速降线问题电气与信息工程学院姓名：专业：学号：在古代建筑中屋顶为了雨水的下落速度最快常建设成一定的弧度，在科技馆里人们也常见到最速降线的模型，球体沿一定弧度的路线下落的时间却比直线短引言科技馆里的最速降线模型故宫屋顶历史背景1630年，伽利略提出了数学史上最著名的最速降线问题：“一个质点在重力作用下，从一个给定点A到不在它垂直下方的另一点B，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。”瑞士数学家约翰·伯努利在1696年再次提出这个最速降线的问题，向全欧洲数学家征求解答约翰伯努利，雅各布·伯努利牛顿、莱布尼兹和罗毕达都给了自己的解法，但不近相同最后，莱昂哈德·欧拉（约翰·伯努利的学生）在1744年最先给了这类问题的普遍解法，并产生了变分法这一新的数学分支。问题提出在垂直平面内确定一条连接两不在同一垂线上的定点A、B的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由A滑向B介质的摩擦力和空气阻力忽略不计）。BA建模1，模型假设与建立在垂直平面内存在两点A，B，A点速度为0，如图所示，假设存在一曲面C是质点由A运动到B所用的时间最短，忽略摩擦力和阻力。设质点质量为m重力加速度为g,质点的速度为vxy0BA解析xy0BAdxdydsθ根据能量守恒得1—2mv2=mgyV=dsdt=2mgy—Secθ=—dsdxtanθ=—dydxSec2θ+tan2θ=1ds=1+(y`)2dxdt=—dsv=1+(y`)22gydxt=1+(y`)22gy∫0adxJ(t)=2g11+(y`)2y∫0adx)=c1+(y`)2yy(1+(y`)2L=由欧拉方程得：性能泛函取为即：令：y`=coα得：y=c*sin2α12(1-cos2α)=—=—dydx=y`2csinαcosαcotα初始条件y(0)=0(1-cos2α)c=dαx=∫0a(1-cos2α)cdα2(2α-sin2α)—=cdα解析令：t=2α得：2c(t-sint)—x=12c(1-cost)—y=1其中：c可由y(a)=b求得因此可知：最速下降曲线是圆滚线即是半径为c/2的圆沿x轴滚动时圆周上的一点所描出的曲线中的一段（旋轮线）。解析在我国古代建筑中就有最速降线原理的应用，但是一直没有此类问题的通俗解法。欧拉求最速降线的问题其意义大大超过了问题的本身，他所使用的变分思想对导致了数学的一个分支——变分学的诞生。对于很多求极值的物理过程问题，他给我我们提供了一种简单有效的通用方法总结郑州轻工业学院放映结束电气与信息工程学院