谈判定等差数列四法

谈判定等差数列四法安徽黄朝阳我们知道解决问题最重要的环节是将未知转化成已知．因此，如何判断一个数列是不是我们已经认识的等差数列，就显得尤为重要．下面给出判断等差数列的四种基本方法．一、定义法1nnaad（常数）()nnaN是等差数列．例1已知数列na的首项13a，通项na与前n项和nS之间满足关系12(2)nnnaSSn≥，求证数列1nS是等差数列．证明：当2n≥时，1nnnaSS，所以112()nnnnSSSS．又0nS，所以11112nnSS，即1111(2)2nnnSS≥．故数列1nS是等差数列．二、等差中项法122()nnnnaaanaN是等差数列．例2设数列na的前n项和为nS，若对于所有的自然数n，都有1()2nnnaaS，证明na是等差数列．证明：当2n≥时，1()2nnnaaS，111(1)()2nnnaaS，所以1111()(1)()22nnnnnnaanaaaSS，①1111(1)()()22nnnnaanaaa，②②－①并整理，得11(2)nnnnaaaan≥，即112nnnaaa．所以数列na是等差数列．三、通项法napnq（pq，为常数）na是等差数列．例3设数列na的前n项和为nS，若对于所有的正整数n，都有2nSanbn（ab，为常数），求证数列na是等差数列．证明：当2n≥时，1nnnaSS，即22(1)(1)naanbnanbn2anab；若把1n代入上式，得1aab．又11aSab，所以2()naanabnN．由于2aab，均为常数，因此数列na是等差数列．四、分析法所谓分析法，就是要不断探求使结论成立的原因，而“因”必须是与题设、定理、公理、公式挂钩，即执果索因．例4已知111abc，，成等差数列，求证bcaacbabcabc，，也成等差数列．证明：要证bcaacbabcabc，，成等差数列，只需证222bcaacbabcabc，，成等差数列，即证abcabcabcabc，，成等差数列．因为111abc，，成等差数列，所以abcabcabcabc，，成等差数列．故bcaacbabcabc，，成等差数列．