搜索
§3.2立体几何中的向量方法（3）学习目标1.进一步熟练求平面法向量的方法；2.掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；3.熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.学习过程一、课前准备复习1：已知1,2,0,0,1,1,AB1,1,2C，试求平面ABC的一个法向量.复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学※学习探究探究任务一：点到平面的距离的求法问题：如图A,空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为n,且AP与n不共线,能否用AP与n表示d?分析:过P作PO⊥于O,连结OA,则d=|PO|=|AP|·cos∠APO∵PO⊥,n⊥∴PO∥n.∴cos∠APO=|cos﹤AP，n﹥|∴d=|AP||cos﹤AP，n﹥|=|||,cos|||||nnAPnAP=||||nnAP新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A,空间一点P到平面的距离为d,平面的一个法向量为n，则d=||||nnAP试试：在棱长为1的正方体''''ABCDABCD中，求点'C到平面''ABCD的距离.反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.※典型例题例1已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.变式：如图,ABCD是矩形,PD平面ABCD,PDDCa,2ADa,MN、分别是ADPB、的中点,求点A到平面MNC的距离.小结：求点到平面的距离的步骤：⑴建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵求平面的一个法向量的坐标；⑶找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷代入公式求出距离.探究任务二：两条异面直线间的距离的求法例2如图，两条异面直线,ab所成的角为，在直线,ab上分别取点',AE和,AF,使得'AAa,且'AAb.已知',,AEmAFnEFl，求公垂线'AA的长.变式：已知直三棱柱111ABCABC─的侧棱14AA,底面ABC△中,2ACBC，且90BCA,E是AB的中点,求异面直线CE与1AB的距离.小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量n，再在两条直线上分别取一点,AB，则两条异面直线间距离d=||||nnAB求解.三、总结提升※学习小结1.空间点到直线的距离公式2.两条异面直线间的距离公式※知识拓展用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.在棱长为1的正方体''''ABCDABCD中，平面''ABBA的一个法向量为；2.在棱长为1的正方体''''ABCDABCD中，异面直线'AB和'CB所成角是；3.在棱长为1的正方体''''ABCDABCD中，两个平行平面间的距离是；4.在棱长为1的正方体''''ABCDABCD中，异面直线'AB和'CB间的距离是；5.在棱长为1的正方体''''ABCDABCD中，点O是底面''''ABCD中心，则点O到平面''ACDB的距离是.课后作业1.如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，点M是棱1AA中点，点O是1BD中点，求证：OM是异面直线1AA与1BD的公垂线，并求OM的长.2.如图，空间四边形OABC各边以及,ACBO的长都是1，点,DE分别是边,OABC的中点，连结DE.⑴计算DE的长；⑵求点O到平面ABC的距离.