高中数学竞赛讲义

第0页数学竞赛讲义目录第一章集合…………………………………………2第二章函数…………………………………………15§2.1函数及其性质………………………15§2.2二次函数………………………21§2.3函数迭代………………………28§2.4抽象函数………………………32第三章数列…………………………………………37§3.1等差数列与等比数列……………………37§3.2递归数列通项公式的求法………………44§3.3递推法解题………………………………48第四章三角平面向量复数………………………51第五章直线、圆、圆锥曲线………………………60第六章空间向量简单几何体………………………68第七章二项式定理与多项式………………………75第八章联赛二试选讲………………………82§8.1平几名定理、名题与竞赛题……82§8.2数学归纳法………………………99§8.3排序不等式………………………103第一章集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.§1.1集合的概念与运算【基础知识】一．集合的有关概念1．集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3．集合的分类：无限集、有限集、空集.4.集合间的关系：二．集合的运算1．交集、并集、补集和差集差集：记A、B是两个集合，则所有属于A且不属于B的元素构成的集合记作BA\.第1页即AxBA{\且}Bx.2.集合的运算性质(1)AAA,AAA(幂等律);(2)ABBA,ABBA(交换律);(3))()(CBACBA,)()(CBACBA(结合律);(4))()()(CABACBA,)()()(CABACBA(分配律);(5)AABA)(,ABAA)((吸收律);(6)AACCUU)((对合律);(7))()()(BCACBACUUU,)()()(BCACBACUUU(摩根律)(8))\()\()(\CABACBA,)\()\()(\CABACBA.3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例1】在集合},,2,1{n中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是.〖分析〗已知},,2,1{n的所有的子集共有n2个.而对于},,2,1{ni,显然},,2,1{n中包含i的子集与集合},,1,1,,2,1{nii的子集个数相等.这就说明i在集合},,2,1{n的所有子集中一共出现12n次,即对所有的i求和,可得).(211ninniS【解】集合},,2,1{n的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211nnnnn=.2)1(1nnn〖说明〗本题的关键在于得出},,2,1{n中包含i的子集与集合},,1,1,,2,1{nii的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例2】已知集合}034|{},023|{222aaxxxBxxxA且BA,求参数a的取值范围.第2页〖分析〗首先确定集合A、B,再利用BA的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得}0)3)((|{},12|{axaxxBxxA当0a时,}3|{axaxB,由BA知无解;当0a时,B,显然无解;当0a时,}3|{axaxB,由BA解得.321a综上知,参数a的取值范围是]32,1[.〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例3】已知RyRx,,集合}1,2,{},1,,1{2yyyBxxxxA.若BA,则22yx的值是()A.5B.4C.25D.10【解】0)1(2x,xxx12,且012xx及集合中元素的互异性知xxx12,即1x,此时应有.112xxxx而Ry,从而在集合B中,.21yyy由BA,得)3()2()1(12112yxyxyxx由(2)(3)解得2,1yx,代入(1)式知2,1yx也满足(1)式..5212222yx〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例4】已知集合}|,|,0{)},lg(,,{yxBxyyxA.若BA,求)1()1(22yxyx……+)1(20082008yx的值.〖分析〗从集合A=B的关系入手,则易于解决.第3页【解】BA,0)lg(||)lg(xyxyxyxxyxyx,根据元素的互异性,由B知0,0yx.B0且BA,A0,故只有0)lg(xy,从而.1xy又由A1及BA,得.1B所以1||1xxy或11yxy,其中1yx与元素的互异性矛盾!所以,1yx代入得:)1()1(22yxyx……+)1(20082008yx=(2)+2+(2)+2+……+(2)+2=0.〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例5】已知A为有限集,且*NA,满足集合A中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.【解】设集合A=)1}(,,,{21naaan且naaa211,由naaa21naaa21,*)(Nnnan,得nnanaaa21naaa21)!1(nan,即)!1(nn2n或3n(事实上,当3n时,有)2)1()2)(1()!1(nnnnn.当2n时,1,2,21122121aaaaaaa,而.2,1122naa当3n时,3,3213321321aaaaaaaaa,.2,121aa由3332aa,解得.33a综上可知,}.3,2,1{A〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例6】已知集合}02|{},023|{22aaxxxSxxxP,若PS,求实数a的取值组成的集合A.【解】}21|{xxP,设aaxxxf2)(2.①当04)2(2aa,即10a时,S,满足PS;②当04)2(2aa,即0a或1a时,第4页若0a,则}0{S,不满足PS,故舍去;若1a时,则}1{S,满足PS.③当04)2(2aa时,满足PS等价于方程022aaxx的根介于1和2之间.即0340121100)2(0)1(22)2(10aaaaaffa或a.综合①②③得10a,即所求集合A}10|{aa.〖说明〗先讨论特殊情形(S=),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对分类讨论,确定a的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论.0【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集22{(,)||1|2(),,MxyxyxyxyR},{(,)||||1|1,,NxyxayxyR}.若MN,则a的取值范围是．【解】由题意知M是以原点为焦点、直线10xy为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N是以(,1)a为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察MN时,a的取值范围:令1y,代入方程22|1|2()xyxy,得2420xx，解出得26x．所以，当26116a时,MN．…………③令2y，代入方程22|1|2()xyxy,得2610xx.解出得310x．所以，当310a时,MN．…………④因此,综合③与④可知，当16310a，即[16,310]a时,MN．故填[16,310].【例8】已知集合},,,{4321aaaaA,},,,{24232221aaaaB,其中4321aaaa,Naaaa4321,,,.若},{41aaBA,1041aa.且BA中的所有元素之和为124,求-2-146-357-1yx123123O第5页集合A、B.【解】4321aaaa,且},{41aaBA,211aa,又Na1,所以.11a又1041aa,可得94a,并且422aa或.423aa若922a,即32a,则有,12481931233aa解得53a或63a(舍)此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{BA若923a,即33a,此时应有22a,则BA中的所有元素之和为100124.不合题意.综上可得,}.81,25,9,1{},9,5,3,1{BA〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A、B中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【例9】满足条件||4|)()(|2121xxxgxg的函数)(xg形成了一个集合M,其中Rxx21,,并且1,2221xx,求函数)(23)(2Rxxxxfy与集合M的关系.〖分析〗求函数23)(2xxxf集合M的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M的属性.【解】|3||||)23()23(||)()(|212122212121xxxxxxxxxfxf取65,6421xx时,.||4||29|)()(|212121xxxxxfxf由此可见,.)(Mxf〖说明〗本题中M是一个关于函数的集合.判断一个函数)(xf是否属于M,只要找至一个或几个特殊的ix使得)(ixf不符合M中的条件即可证明.)(Mxf【例10】对集合}2008,,2,1{及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如}9,6,4,2,1{的“交替和”是612469,集合}10,7{的“交替和”是10－7=3,集合}5{的“交替和”是5等等.试求A的所有的“交替和”的总和.并针对于集合},,2,1{n求出所有的“交替和”.〖分析〗集合A的非空子集共有122008个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共第6页有15个,共“交替和”分别为:{1}1;{2}2