高三数学复习-三角函数专题

-1-三角函数专题一基本知识点1.1任意角的三角函数及诱导公式1．任意角的概念旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点。2．终边相同的角、区间角与象限角3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分.角的弧度数的绝对值是：rl，其中，l是圆心角所对的弧长，r是半径。角度制与弧度制的换算主要抓住180rad。弧度与角度互换公式：1rad＝180°1°＝180（rad）。弧长公式：rl||（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：2||2121rrlS。4．三角函数定义利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)Pxy,那么:(1)y叫做的正弦,记做sin,即siny；（2）x叫做的余弦,记做cos,即cosx；（3）yx叫做的正切,记做tan,即tan(0)yxx。5．三角函数线6．同角三角函数关系式a的终边P(x,y))Oxy-2-（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：sincostan,cotcossin几个常用关系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示)7．诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。诱导公式一：sin(2)sink，cos(2)cosk，其中kZ新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆诱导公式二：sin(180)sin；cos(180)cos诱导公式三：sin()sin；cos()cos诱导公式四：sin(180)sin；cos(180)cos新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆诱导公式五：sin(360)sin；cos(360)cos－2Zkk22sin－sinsin－sin－sinsincoscoscos－cos－coscoscossin（1）要化的角的形式为180k（k为常整数）；（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；（3）sin(kπ+α)=(－1)ksinα；cos(kπ+α)=(－1)kcosα(k∈Z)；（4）sincoscos444xxx；cossin44xx。8．几种终边在特殊位置时对应角的集合为：角的终边所在位置角的集合-3-X轴正半轴Zkk,360|Y轴正半轴Zkk,90360|X轴负半轴Zkk,180360|Y轴负半轴Zkk,270360|X轴Zkk,180|Y轴Zkk,90180|坐标轴Zkk,90|9．α、2、2α之间的关系。若α终边在第一象限则2终边在第一或第三象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。若α终边在第二象限则2终边在第一或第三象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。若α终边在第三象限则2终边在第二或第四象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。若α终边在第四象限则2终边在第二或第四象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。10．三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离22rxy,那么22sinyxy,22cosxxy,tanyx。1.2三角函数的图象与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像-4-1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyxy=tanx322-32--2oyxy=cotx3222--2oyx2．三角函数的单调区间：xysin的递增区间是2222kk，)(Zk，递减区间是23222kk，)(Zk；xycos的递增区间是kk22，)(Zk，递减区间是kk22，)(Zk，xytan的递增区间是22kk，)(Zk，3．函数BxAy)sin(），（其中00A最大值是BA，最小值是AB，周期是2T，频率是2f，相位是x，-5-初相是；其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心。4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移||个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。6．对称轴与对称中心：sinyx的对称轴为2xk，对称中心为(,0)kkZ；cosyx的对称轴为xk，对称中心为2(,0)k；对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8．求三角函数的周期的常用方法：-6-经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点取法是设x=ωx+，由x取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。1.3三角恒等变形及应用1．两角和与差的三角函数sincoscossin)sin(；sinsincoscos)cos(；tantantan()1tantan。2．二倍角公式cossin22sin；2222sin211cos2sincos2cos；22tantan21tan。3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式2sin21cossin；22cos1sin2；22cos1cos2。（2）辅助角公式（万能公式）22sincossinaxbxabx，2222sincosbaabab其中，。4．三角函数的求值类型有三类-7-（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。6．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆在学习时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角如，22，等；（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如。，，，tantantantantantantantantantantantantantantantan1tancossinsincoscos（4）注意倍角的相对性（5）要时时注意角的范围（6）化简要求熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。7．证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。-8-特殊角的三角函数值：30°45°60°0°90°180°270°15°75°sin212223010－1624624cos23222110－10624624tan3313002-32+3cot3133002+32-3三角函数诱导公式（2k）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,02；(2)转化为锐角三角函数。-9-二典型题分析题型1三角函数的最值最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．例1若x是三角形的最小内角