相似三角形之常用辅助线

相似三角形之常用辅助线在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。专题一、添加平行线构造“A”“X”型定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：例1、平行四边形ABCD中，E为AB中点，AF：FD＝1：2，求AG：GC变式练习：已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：．（本题有多种解法，多想想）GFEDCBAGFEDCBACDBDACAB例2、如图，直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若DCBD＝FAFC=2,求BE:EA的比值.变式练习：如图，直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若BDDC＝FEED=2,求BE:EA的比值.例3、BE＝AD，求证：EF·BC＝AC·DF变式1、如图，△ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。ACFEBDACFEBDEDCBA例4、已知：如图，在△ABC中，AD为中线，E在AB上，AE=AC，CE交AD于F，EF∶FC=3∶5，EB=8cm,求AB、AC的长.变式：如图，21DEAECDBD，求BFAF。（试用多种方法解）说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．总结：（1）遇燕尾，作平行，构造字一般行。（2）引平行线应注意以下几点：1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。ABCDEFABCDEFABCDEFABCDEF专题二、作垂线构造相似直角三角形一、基本图形例1、如图，中，，，那么吗？试说明ABCABACBDACBCCACD22理由？（用多种解法）v变式练习：平行四边形ABCD中，CE⊥AE，CF⊥AF，求证：AB·AE＋AD·AF＝AC2例2、如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG2=CFBFABCDABDEFCABCDEF【练习】1．如图，一直线与△ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于D，E，F。求证：若CFBFECAE，则D是AB的中点。2．如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=3CE，DE交BC于F，求DF：FE的值。3.已知：AM：MD=4：1，BD：DC=2：3，求AE：EC。4、如图，ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：BFCFBDCEABCDEFBEADCFABCDMEBDACFE