华东师大版九年级数学上一元二次方程根的判别式

2020/9/20华东师大版九年级数学上一元二次方程根的判别式是什么条件决定着一元二次方程根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题。.05623;01682;01031222xxxxxx）（）（）（用公式法解下列方程：我们知道,任何一个一元二次方程)0(02acbxax∵a≠0222424bbacxaa∴4a20配方探索发现：∵a≠0∴4a20即222424bbacxaa当时，240bac当时，240bac当时，240bac221244,.22bbacbbacxxaa方程有两个不相等的实数根：12.2bxxa方程有两个相等的实数根：方程没有实数根.1.3.2.我们把叫做一元二次方程的根的判别式，用符号“”表示，即.24bac200axbxca24bac记住了，别搞错!结论1.当时，方程有两个不相等的实数根，其根为：0一元二次方程：的根的情况可由来判断：200axbxca24bac2.当时，方程有两个相等的实数根，其根为：=03.当时，方程没有实数根.4.当△≥0时，方程有两个实数根.0x1=，x2=；aacbb242aacbb242x1=x2=；ab2反过来也成立：•当方程有两个不相等的实数根时•当方程有两个相等的实数根时•当方程没有实数根时•当方程有两个实数根时△≥00=00小试牛刀：例1：不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况.（1）3x2=5x－2；（2）16y2＋9=24y；（3）4(x2+1)－x=0方程要先化为一般形式，再求判别式解：（1）原方程化为一般形式为：3x2－5x＋2=0.因为=（－5）2－4×3×2=25－24=10，所以，原方程有两个不相等的实数根.24bac解：（2）原方程化为一般形式为：16y2－24y+9=0.因为=（－24）2－4×16×9=576－576=0，所以，原方程有两个相等实数根.24bac解：（3）原方程化为一般形式为：4x2－x＋4=0.因为=（－1）2－4×4×4=1－64=－63＜0，所以，原方程没有实数根.24bac•例2：当k取什么值时，关于x的方程•2x2－（4k+1)X+2k2－1=0•（1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根（3）方程没有实数根•解：（1）因为方程有两个不相等的实数根••所以：△=••即(4k+1)2－4×2×(2k2－1)＞0••k＞－•所以，当k＞－时，方程有两个不相等的实数根240bac8989•解：（2）因为方程有两个相等的实数根•所以=0•即(4k+1)2－4×2×(2k2－1)=0••k=－•所以，当k=－时，方程有两个相等的实数根24bac8989•解：（3）因为方程没有实数根•所以：△=•即(4k+1)2－4×2×(2k2－1)＜0•k＜－••所以，当k＜－时，方程没有实数根240bac8989拓展提高：•当k取什么值时，关于x的方程•（k－1)x2－（2k－1)x=x－k（1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根（3）方程没有实数根（4）方程有两个实数根•解：（1）方程整理得，（k－1)x2－2kx+k=0•因为方程有两个不相等的实数根•所以：△=b2－4ac＞0•即(－2k)2－4×（k－1)×k＞0•k＞0•又因为k－1≠0•即k≠1•所以当k＞0且k≠1时，方程有两个不相等的实数根变式一：•当k取什么值时，关于x的方程•（k－1)x2－（2k－1)x=x－k•有实数根？•解：方程整理得，（k－1)x2－2kx+k=0由题意得：•（1）当方程为一元一次方程时则k－1=0•即k=1时，此时方程有实数根•（2）当方程为一元二次方程时•因为方程有两个实数根•所以△=b2－4ac≥0•即(－2k)2－4×（k－1)×k≥0•解得k≥0又因为k－1≠0即k≠1所以当k≥0且k≠1时，方程有实数根综上所述，当k≥0时，方程有实数根•变式二：•当k取什么值时，关于x的一元二次方程（k－1)x2－（2k－1)x=x－k有实数根？（1）今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它。（2）△=b2-4ac的应用，根据△=b2-4ac值，判断一元二次方程根的情况；反过来根据一元二次方程根的情况判断△=b2-4ac的取值范围注意：△=b2-4ac只能在一元二次方程中应用。