一元二次方程根的判别式

-新世纪教育网版权所有用公式法求下列方程的根:.01)3;0141)2;022)1222xxxxxx用公式法解一元二次方程的一般步骤:1)把方程化为一般形式2)确定的值cba,,4)利用求根公式计算方程的根aacbbx2423)计算,并判断其值与的关系acb420042acb-温故而知新一元二次方程200axbxca的求根公式是：-温故而知新240bac一元二次方程20(0axbxca,)的求根公式是-20bcxxaa2bcxxaa22222bbcbxxaaaa222424bbacxaa如何把一元二次方程200axbxca写成2xhk的形式？配方法-(0244)bacbxaaa当24bac＞0时，方程的右边是一个正数，方程有两个不相等的实数根：221244;;22bbacbbacxxaa当24bac=0时，方程的右边是0，方程有两个相等的实数根：12;2bxxa当24bac＜0时，方程的右边是一个负数，因为在实数范围内，负数没有平方根.所以，方程没有实数根.acb42思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况04,02aaacb42-新世纪教育网版权所有反过来，对于方程200axbxca，如果方程有两个不相等的实数根，那么240;bac如果方程有两个相等的实数根，那么240;bac如果方程没有实数根，那么240.bac-新世纪教育网版权所有我们把叫做一元二次方程的根的判别式，用符号“”来表示.当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；即一元二次方程200axbxca，反之，当方程有两个不相等的实数根时，0；当方程有两个相等的实数根时，0；当方程没有实数根时，0.当0时，方程没有实数根.acb42)0(02acbxax-：按要求完成下列表格：Δ的值让我们一起学习例题根的情况有两个相等的实数根没有实数根有两个不相等的实数根方程01322xxyy42220)1(22xx15170000-新世纪教育网版权所有你会了吗？来练一下吧！我相信你肯定行！21(1)384xx；2(2)5170.tt练习不解方程，判别下列方程的根的情况：订正-在一元二次方程中)0(02acbxax则方程异号与若,ca()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法acb42acb420-的方程,04222mmxx证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根4244:2mm解16842mm121242mm012142m所以,不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根-新世纪教育网版权所有【例1】已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求m、n的值.典型例题解析解：∵方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根，∴(4+m)2-4(n+6)=0，即m2+8m-8=4n.又方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根，方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根，∴(7-m)2-4(3+n)＞0，(m-4)2-4(n+1)＜0.把4n=m2+8m-8代入上两式得∵m为整数∴m=2，从而n=3.2245m1620-新世纪教育网版权所有【例2】(2003年·黑龙江)关于x的方程kx2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.k＞-1/2，且k≠0.不存在，理由略。【例3】已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程有两个等根，试判断△ABC的形状.a2)cb(2xcb2ax222解：利用Δ＝0，得出a=b=c.∴△ABC为等边三角形.典型例题解析-一元二次方程有两个实数根,则m的取值范围是______________02212mmxxm21422mmm解844422mmm84m02m101mm即又12mm且二次三项式在实数范围内能因式分解,求m的取值范围变再变-新世纪教育网版权所有例4：求证：（1）关于x的方程x²+kx+k²+1=0没有实数根（2）关于x的方程（x+a)(x-a)-x=2(x-1)总有两个不相等的根。（1）证明：∵△=b²-4ac=k²-4（k²+1）=-3k²-4∴无论k为何实数k≥0∴△＜0故原方程没有实数根。（2）证明：整理原方程得x²-3x+2-a²=0∵△=9-4×（2-a²）=1+4a²无论a为何值a²≥0∴△＞0,故原方程有两个不相等的根-新世纪教育网版权所有要点、考点聚焦1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；(3)当Δ＜0时，方程无实数根.2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面的知识主要用来求取值范围等问题.-(2004年·西宁市)若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是()A.m＜1B.m＜1且m≠0C.m≤1D.m≤1且m≠0D2.(2004年·昆明)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k的取值范围是()A.k≤1B.k≥1C.k1D.k1A3.(2004年·桂林市)如果方程组只有一个实数解，那么m的值为()A.-3/8B.3/8C.-1D.-3/4Ax3ym2xy2-(2003年·南通市)若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则k=.25.(2004年·上海市)关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。解：Δ=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m=m2-2m+1=(m-1)2∴(m-1)2=1,即m1＝2，m2＝0(二次项系数不为0，舍去)。当m=2时，原方程变为2x2-5x+3＝0，x＝3/2或x=1.-求判别式时，应该先将方程化为一般形式.2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为“方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.-新世纪教育网版权所有课时训练1.(2004年·大连)一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是()A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根D2.(2004年·安徽)方程x2-3x+1=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根A3.(2004年·长沙)下列一元一次方程中，有实数根的是()A.x2-x+1=0B.x2-2x+3=0C.x2+x-1=0D.x2+4=0C-(2003年·湖北黄冈)关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是()A.当k=1/2时，方程两根互为相反数B.当k=0时，方程的根是x=-1C.当k=±1时，方程两根互为倒数D.当k≤1/4时，方程有实数根D5.若一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值为()A.-4B.4C.1/4D.-1/4C课时训练0nxmx2mn-新世纪教育网版权所有