人工智能 第三章3

3.4Herbrand定理•问题：一阶逻辑公式的永真性（永假性）的判定是否能在有限步内完成？•1936年图灵(Turing)和邱吉(Church)互相独立地证明了：“没有一般的方法使得在有限步内判定一阶逻辑的公式是否是永真（或永假）。但是如果公式本身是永真（或永假）的，那么就能在有限步内判定它是永真（或永假）。对于非永真（或永假）的公式就不一定能在有限步内得到结论。判定的过程将可能是不停止的。”3.4Herbrand定理•Herbrand的思想–定义：公式G永真：对于G的所有解释，G都为真。–思想：寻找一个已给的公式是真的解释。然而，如果所给定的公式的确是永假的，就没有这样的解释存在，并且算法在有限步内停止。3.4Herbrand定理•基本方法：–因为量词是任意的，所讨论的个体变量域D是任意的，所以解释的个数是无限、不可数的。–简化讨论域。建立一个比较简单、特殊的域，使得只要在这个论域上，该公式是不可满足的。–此域称为H域。)},...,({11niittfHH3.4Herbrand定理D域H域H域与D域关系示意图H域例题•设子句集S={P(x),Q(y,f(z,b)),R(a)}，求H域•解：H0＝{a,b}为子句集中出现的常量H1＝{a,b,f(a,b),f(a,a),f(b,a),f(b,b)}H2＝{a,b,f(a,b),f(a,a),f(b,a),f(b,b)，f(a,f(a,b)),f(a,f(a,a)),f(a,f(b,a)),f(a,f(b,b)),f(b,f(a,b)),f(b,f(a,a)),f(b,f(b,a)),f(b,f(b,b)),f(f(a,b),f(a,b)),f(f(a,b),f(a,a)),f(f(a,b),f(b,a)),f(f(a,b),f(b,b)),f(f(a,a),f(a,b)),f(f(a,a),f(a,a)),f(f(a,a),f(b,a)),f(f(a,a),f(b,b)),f(f(b,a),f(a,b)),f(f(b,a),f(a,a)),f(f(b,a),f(b,a)),f(f(b,a),f(b,b)),f(f(b,b),f(a,b)),f(f(b,b),f(a,a)),f(f(b,b),f(b,a)),f(f(b,b),f(b,b))}•………•H∞=H1∪H2∪H3………3.4Herbrand定理•几个基本概念–f（tn）：f为子句集S中的所有函数变量。t1,t2,…tn为S的H域的元素。通过它们来讨论永真性。–原子集A：谓词套上H域的元素组成的集合。如A={所有形如P(t1,t2,…tn)的元素}即把H中的东西填到S的谓词里去。S中的谓词是有限的，H是可数的，因此，A也是可数的。3.4Herbrand定理上例题的原子集为：•A={P(a),Q(a,a),R(a),P(b),Q(b,a),Q(b,b),Q(a,b),R(b),P(f(a,b)),Q(f(a,b),f(a,b)),R(f(a,b),P(f(a,a)),P(f(b,a)),P(f(b,b)),……)一旦原子集内真值确定好（规定好），则S在H上的真值可确定。成为可数问题。3.4Herbrand定理•解释I：谓词公式G在论域D上任何一组真值的指定称为一个解释。•H解释：子句集S在的H域上的解释称为H解释。问题：对于所有的解释，全是假才可判定。因为所有解释代表了所有的情况，如可穷举，问题便可解决。3.4Herbrand定理•如下三个定理保证了归结法的正确性：–定理1：设I是S的论域D上的解释，存在对应于I的H解释I*，使得若有S|I=T，必有S|I*=T。–定理2：子句集S是不可满足的，当且仅当所有的S的H解释下为假。–定理3：子句集S是不可满足的，当且仅当对每一个解释I下，至少有S的某个子句的某个基例为假。3.4Herbrand定理•基例S中某子句中所有变元符号均以S的H域中的元素代入时，所得的基子句C’称为C的一个基例。•若一个子句为假，则此解释为假。•一般来说，D是无穷不可列的，因此，子句集S也是无穷不可列的。但S确定后H是无穷可列的。不过在H上证明S的不可满足性仍然是不可能的。•解决问题的方法：语义树3.4Herbrand定理•构成方法–原子集中所有元素逐层添加的一棵二叉树。将元素的是与非分别标记在两侧的分枝上（可不完全画完）。•特点–一般情况H是可数集，S的语义树是无限树。3.4Herbrand定理N0P(a)N12Q(a)P(f(a))N24N31N38无限语义树N11~P(a)~Q(a)Q(a)~Q(a)~P(f(a))N21S＝{～P(x)∨Q(x)，P(f(y))，～Q(f(y))}3.4Herbrand定理•意义–SHA语义树–可以理解语义树为H域的图形解释。目的：把每个解释都摊开。语义树中包含原子集的全部元素。因此，语义树是完全的。每一个直到叶子节点的分支对应S的一个解释。可以通过对语义树每一个分支来计算S的真值。如果每个基例都为假，则可认为是不可满足的。3.4Herbrand定理•几个概念–失败结点：当（由上）延伸到点N时，I(N)已表明了S的某子句的某基例假。但N以前尚不能判断这事实。就称N为失败结点。–封闭语义树：如果S的完全语义树的每个分枝上都有一个失败结点，就称它是一棵封闭语义树。3.4Herbrand定理N0P(a)N1,2Q(a)P(f(a))N2,4N3,1N3,8N1,1N4,2N4,1N2,1N3,2N2,2N3,6N4,9N4,10N4,13N4,14封闭语义树Q(f(a))S＝{～P(x)∨Q(x)，P(f(y))，～Q(f(y))}3.4Herbrand定理Herbrand定理：1.子句集S是不可满足的，当且仅当对应于S的完全语义数是棵有限封闭树。2.子句集S是不可满足的，当且仅当存在不可满足的S的有限基例集。3.4Herbrand定理•定理的意义–Herbrand定理已将证明问题转化成了命题逻辑问题。–由此定理保证，可以放心的用机器来实现自动推理了。（归结原理）•注意–Herbrand定理给出了一阶逻辑的半可判定算法，即仅当被证明定理是成立时，使用该算法可以在有限步得证。而当被证定理并不成立时，使用该算法得不出任何结论。但是3.4Herbrand定理•仍存在的问题：基例集序列元素的数目随子句基的元素数目成指数地增加。•因此，Herbrand定理是30年代提出的，始终没有显著的成绩。直至1965年Robinson提出了归结原理。3.4Herbrand定理归结原理与Herbrand定理•归结原理是语义树的一个倒塌过程•最后归结出空，就是剩一个根节点，就说明语义树是有限封闭的，证明结束。