高等数学(工本)复习资料

全国高等教育自学考试内部资料高等数学内部讲义高等数学工本核心题型[典例精析1]设向量kji32与kmji62垂直，则m()A．4B．-4C．10D．-10【解析】两向量a与b垂直的充要条件是0ba由题意知)32(kji)62(kmji1822m=0，10m，故选D．[典例精析2]方程12222zyx表示的图形是()A.椭球面B．椭圆抛物面C．椭圆锥面D．单叶双曲面【解析】方程1222222czbyax（其中0,0,0cba)所表示的曲面为椭球面，方程,0(2222abyaxz)0b表示的为椭圆抛物面．方程,022222abyaxz)0b表示的为椭圆锥面．方程,0(1222222aczbyax)0,0cb表示的为单叶双曲面，故由此可知221x11)21(2222zy为椭球面．故选A.[典例精析3]过点（2，3，-4）且垂直于平面0232zyx的直线方程是()A．143322zyxB．143322zyxC．143322zyxD.0)4()3(3)2(2zyx【解析】平面的法向量}1,3,2{n，因为直线垂直于该平面，故该直线的方向向量n/．故取v={2，3，-1}，因此直线的方程为143322zyx,故选C．[典例精析4]已知}2,2,1{},4,1,1{ba,求(1)ba；(2)ba与的夹角；(3)ba在上的投影ba.【解析】(1)ba=92)4()2(111(2)设夹角为，那么||||cosbaba2222222)2(1)4(1192143(3)babbaba||cos||||a在b上的投影为339||bbaab[典例精析5]已知向量}0,1,1{},2,0,1{ba，试求向量c，使bcac,且.6||c【解析】设},,{zyxcac02zxacbc0yxbc6||c6222zyx解得244zyx或244zyx向量}2,4,4{c或}2,4,4{c[典例精析6]求直线241312zyx与平面062zyx的交点．【解析】所给直线的参数方程为tztytx24,3,2，代人平面方程中，得06)24()3()2(2ttt解方程，得1t，把求得的t值代入直线的参数方程中，得2,2,1zyx，即得所求交点的坐标为(1，2，2)．[典例精析7]设函数),(yxf在点),(00yx的某邻域中有定义，则下列结论正确的是()A．若),,(00yxfx),(00yxfy都存在，则),(yxf在占),(00yx处连续B．若),,(00yxfx),(00yxfy都存在，则),(yxf在占),(00yx处可微C．若),,(00yxfx),(00yxfy都不存在，则),(yxf在点),(00yx处不连续D．若),(),,(yxfyxfyx都在点),(00yx处连续，则),(yxf在点),(00yx处连续【解析】本题考查二元函数在某点的性态．函数),(yxf在点),(00yx处可微的必要条件是),(yxf在点),(00yx处的两个偏导数都存在，而函数),(yxf在点),(00yx处可微的充分条件是),(yxf的两个偏导数在点),(00yx处连续．又因为可微必连续，故选项D正确．[典例精析8]设函数5),(22xyyxf，则点(0，O)()A．是),(yxf的极小值点B．是),(yxf的极大值点C．不是),(yxf的驻点D．是),(yxf的驻点但不是极值点【解析】本题考查函数在某点是否取极值点．,2,2,5),(22yyfxxfxyyxf0yfxf，则.0yx,2,0,222222yfyxfxf所以04)22(0，所以(O，O)点不是),(yxf的极值点，是),(yxf的驻点．故选D．[典例精析9]函数)ln(222zyxu在点M(l，2，-2)处的梯度为【解析】本题考查函数在某点处的梯度，),ln(222zyxu所以,2,2222222zyxyyuzyxxxu,2222zyxzzu,94,92)2,2,1()2,2,1(yuxu,94)2,2,1(yu所以函数u在点M（1，2，-2）处的梯度为}.2,2,1{92[典例精析10]曲面32xyezz在点(1，2，O)处的切平面方程为【解析】042yx本题考查曲面在某点处的切平面方程．令32),,(xyezzyxFz，则在点(1，2，0)处，,42yFx,22xFy01zzeF所以切平面方程为0)0(0)2(2)1(4zyx即042yx.[典例精析11]求由方程xyarcyxtanln22确定的隐函数的导数或偏导数.【解析】本题考查隐函数的导数．设,tanln),(22xyarcyxyxF则,222222yxyxyxyyxxFx,222222yxxyyxxyxyFy故yxyxxyyxFFdxdyyx[典例精析12]求函数22yxz在点(1，1)处，沿与x轴正向成60角的方向l的方向导数．【解析】本题考查函数在某点处的方向导数．,2,2yzxzyx又,632,3故cos)1,1(cos)1,1(yxzzlz6cos23cos2.31[典例精析13]造一个容积为327m的长方体水箱，应如何选择水箱的尺寸可使得用料最省？【解析】本题考查极值的求解．设水箱的长、宽、高分别为,zyx、、容积为V，表面积为S，则有27,222xyzxzyzxyS令)27(222)(xyzxzyzxyzyxL、、解方程组0270)(20)(20)(2xyzxyyxLxzzxLyzzyLzyx得可疑极值点(3，3，3)因实际情况表面积S必存在最小值，而可疑点只有一个，故当水箱的长、宽、高都取3米时表面积最小，从而用料最省．[典例精析14]设二次积分,),(010dyyxfdxIx则交换积分次序后得I.【解析】dxyxfdyy),(110本题是有关多元函数二次积分的交换积分次序的问题．二次积分的积分区域D如右图阴影部分，故dxyxfdydyyxfdxIyx),(),(110010[典例精析15]由曲线2222,2yxxyx0,,4yxyx所围成的图形的面积S=()A．)2(41B．)2(21C．)2(43D.2【解析】本题考查二理积分极坐标的计算．由题意知曲线所围成的图形如图所示．令,sin,cosryrx其中40所以由曲线yxyxyxxyx,,4,22222O所成的图形的面积．rdrdss4cos240cos42240|21.srdd240cos6d)2cos1(3404)2(3)2sin233(40故选C．[典例精析16]二重积分dxdyxyxD)(22，其中D是由直线xyy,2及xy2所围成的闭区域，画出积分区域并计算。【解析】本题考查二重积分的计算.D如右图所示．原式dxxyxdyyy22220)(dyxxyxy220223|)2131(dyyy2023)832419(613|)8124419(2034yy[典例精析17]计算三重积分,)(22dvzyI其中是由),(yxO平面上的曲线xy22绕x轴旋转而成的曲面与平面5x所围成的闭区域．【解析】本题考查三重积分的计算．如右图所示，),(yxO平面上曲线xy22绕x轴旋转而成的曲面方程为xzy222，故是由曲面xzy222及平面5x所围成的闭区域．当0≤z≤5时，平面xX与相交的区域为2y.22xz于是dydzzydxdvzyxzy)()(222502222rdrrddxx2202050503250|31.22xdxx.3250[典例精析18],2222dyyxxdxyxyIC因22222)(yxxyxQyP，所以()A．因yP与xQ在原点不存在，故对任意的0,ICB．对任意闭曲线C，I=0C．在C不合原点时，I=0D．在C含原点时I=O，不合原点时I≠O【解析】本题考查曲线积分的计算.设C是不包含原点的任一光滑闭曲线，由于),(yxp),(yxQ在不包含原点的任一连通区域内都有连续偏导数，且22222)(yxxyyPxQ所以cdxyxPI),(.0),(dyyxQ[典例精析19]设L是圆周,422yx这个圆周取逆时针方向，则曲线积分xdyydxL3=.【解析】16本题考查曲线积分的计算．由格林公式知xQyp,3，所以dxdyyPxQxdyydxDL)(3dxdyD)31(dxdyD44416[典例精析20]计算dsyxL)(33的值，L是.||,22axxay【解析】本题考查曲线积分的计算．L的参数方程为,sincostaytax,0t则dsydsxdsyxLLL3333)(dttatata2230)cos()sin()sin(0tdta304sin.344a[典例精析21]计算,zdxdyydzdxxdydz是旋转抛物面：1,22zyxz部分的外侧．【解析】本题考查曲面积分的计算．dydzxdydzxxdydz2121其中1：前半抛物面21yzx前侧，2:后半抛物面22yzx后侧它们在Oyz面上投影区域为.1:2zyDyzxdydzdydzyzdydzyzyzyzDD)(22dydzyzyzD22dzyzdyy212112ddyy4202/3112cos38)1(3422.21.43.38由对称性知，2ydzdx又在Oxy面的投影区域1:22yxDxy且投影的符号为负，因此，dxdyyxzdxdyxyD)(22drrd310202故zdxdyydzdxxdydz2222[典例精析22]计算2/3222)(zyxzdxdyydzdxxdydz其中为球面2222azyx的外侧．【解析】本题考查曲面积分的计算．因为球面方程为2222:azyx，故在其上任意一点(x，y，z)处的单位法向量为},,{}cos,cos,{cosazayaxn于是，2/3222)(zyxzdxdyydzdxxdydz3azdxdyydzdxxdydzzdxdyydzdxxdydza31dSzyxa)coscoscos(13dSazzayyaxxa)(13dSzyxa)(12224.4411222aadSa[典例精析23]设函数xxexey)1(2是二阶常系数线性微分方程xcebyyay的一个特解，则常数cba,,及该微分方程的通解为.【解析】将xxexey)1(2代入byyay