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人教2019A版选择性必修第一册1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(1)距离问题第一章空间向量与立体几何学习目标能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.(直观想象、数学运算)如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？问题：空间中包括哪些距离?求解空间距离常用的方法有哪些?答案：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面的距离;传统方法和向量法.情境导学一、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离1.点到直线的距离已知直线l的单位方向向量为μ,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设𝐴𝑃=a,则向量𝐴𝑃在直线l上的投影向量𝐴𝑄=(a·μ)μ.点P到直线l的距离为PQ=𝑎2-(𝑎·𝜇)2.2.两条平行直线之间的距离求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.探究新知1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,则点A到直线EF的距离为.答案:1746解析:如图,以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),𝐸𝐹=(1,-2,1),𝐹𝐴=(1,0,-2),∴|𝐸𝐹|=12+(-2)2+12=6,∴直线EF的单位方向向量μ=66(1,-2,1),∴点A到直线EF的距离d=|𝐹𝐴|2--662=296=1746.小试牛刀二、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离为PQ=|𝐴𝑃·𝑛||𝑛|.点睛：1.实质上,n是直线l的方向向量,点P到平面α的距离就是𝐴𝑃在直线l上的投影向量𝑄𝑃的长度.2.如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.3.两个平行平面之间的距离如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.探究新知2.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD1C的距离为.答案:83解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),则𝐴𝐶=(-2,2,0),𝐴𝐷1=(-2,0,4),𝐵1𝐷1=(-2,-2,0),设平面AD1C的法向量为n=(x,y,z),则𝑛·𝐴𝐶=0,𝑛·𝐴𝐷1=0,得-2𝑥+2𝑦=0,-2𝑥+4𝑧=0.取z=1,则x=y=2,所以n=(2,2,1).所以点B1到平面AD1C的距离d=|𝑛·𝐵1𝐷1||𝑛|=83.小试牛刀例1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.解:以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直线A1C1的方向向量𝐴1𝐶1=(-4,3,0),𝐵𝐶1=(0,3,1),所以点B到直线A1C1的距离d=|𝐵𝐶1|2-𝐵𝐶1·𝐴1𝐶1|𝐴1𝐶1|2=10-952=135.典例解析用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.归纳总结延伸探究1例1中的条件不变,若M,N分别是A1B1,AC的中点,试求点C1到直线MN的距离.解:如例1解中建立空间直角坐标系(图略).则M(2,0,1),N2,32,0,C1(0,3,1),所以直线MN的方向向量为𝑀𝑁=0,32,-1,𝑀𝐶1=(-2,3,0),所以点C1到MN的距离d=|𝑀𝐶1|2-𝑀𝐶1·𝑀𝑁|𝑀𝑁|2=228613.延伸探究2将条件中直三棱柱改为所有棱长均为2的直三棱柱,求点B到A1C1的距离.解:以B为坐标原点,分别以BA,过B垂直于BA的直线,BB1为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),A1(2,0,2),C1(1,3,2),所以A1C1的方向向量𝐴1𝐶1=(-1,3,0),𝐵𝐶1=(1,3,2),所以点B到直线A1C1的距离d=|𝐵𝐶1|2-𝐵𝐶1·𝐴1𝐶1|𝐴1𝐶1|2=8--1+3+022=8-1=7.例2在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示.求点B到平面CMN的距离.23思路分析借助平面SAC⊥平面ABC的性质,建立空间直角坐标系,先求平面CMN的法向量,再求距离.典例解析解:取AC的中点O,连接OS,OB.∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,∴SO⊥平面ABC.又BO⊂平面ABC,∴SO⊥BO.如图所示,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则B(0,23,0),C(-2,0,0),S(0,0,22),M(1,3,0),N(0,3,2).∴𝐶𝑀=(3,3,0),𝑀𝑁=(-1,0,2),𝑀𝐵=(-1,3,0).设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,则𝐶𝑀·𝑛=3𝑥+3𝑦=0,𝑀𝑁·𝑛=-𝑥+2𝑧=0,取z=1,则x=2,y=-6,∴n=(2,-6,1).∴点B到平面CMN的距离d=|𝑛·𝑀𝐵||𝑛|=423.求点到平面的距离的主要方法(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)在三棱锥中用等体积法求解.(3)向量法:d=|𝑛·𝑀𝐴||𝑛|(n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过点A的斜线段)归纳总结跟踪训练1在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求直线B1C到平面A1BD的距离.(1)证明:连接AB1交A1B于点E,连接DE.𝐷𝐸∥𝐵1𝐶,𝐷𝐸⊂平面𝐴1𝐵𝐷⇒B1C∥平面A1BD.跟踪训练(2)解:因为B1C∥平面A1BD,所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离.如图建立坐标系,则B1(0,22,3),B(0,22,0),A1(-1,0,3),𝐷𝐵1=(0,22,3),𝐷𝐵=(0,22,0),𝐷𝐴1=(-1,0,3).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),所以22𝑦=0,-𝑥+3𝑧=0,所以n=(3,0,1).所求距离为d=|𝑛·𝐷𝐵1||𝑛|=31010.金题典例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.(1)求证:B1D⊥平面ABD;(2)求证:平面EGF∥平面ABD;(3)求平面EGF与平面ABD的距离.思路分析：根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离,即点面距.金题典例(1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,设AB=a,则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),G𝑎2,1,0.所以𝐵1𝐷=(0,2,2),𝐴𝐵=(-a,0,0),𝐵𝐷=(0,2,-2).所以𝐵1𝐷·𝐴𝐵=0+0+0=0,𝐵1𝐷·𝐵𝐷=0+4-4=0.所以𝐵1𝐷⊥𝐴𝐵,𝐵1𝐷⊥𝐵𝐷,所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.(2)证明:由(1)可得𝐴𝐵=(-a,0,0),𝐵𝐷=(0,2,-2),𝐺𝐹=-𝑎2,0,0,𝐸𝐹=(0,1,-1),所以𝐴𝐵=2𝐺𝐹,𝐵𝐷=2𝐸𝐹,所以𝐺𝐹∥𝐴𝐵,𝐸𝐹∥𝐵𝐷.所以GF∥AB,EF∥BD.又GF∩EF=F,AB∩BD=B,所以平面EGF∥平面ABD.(3)解:由(1)(2)知,𝐵1𝐷是平面EGF和平面ABD的法向量.因为平面EGF∥平面ABD,所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离,设为d.因为𝐸𝐵=(0,0,3),𝐵1𝐷=(0,2,2),所以d=|𝐵1𝐷·𝐸𝐵||𝐵1𝐷|=622+22=322.即两平面间的距离为322.总结：求两个平行平面的距离,先在其中一个平面上找到一点,然后转化为该点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.归纳总结1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是()A.32B.22C.3D.32答案:B解析:∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),𝑂𝐴=(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),∴两平面间的距离d=|𝑛·𝑂𝐴||𝑛|=|-2+0+1|2=22.故选B.当堂检测2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()A.66B.63C.36D.33答案:D解析:分别以PA,PB,PC所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),则d=|𝑃𝐴·𝑛||𝑛|=33.3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是()A.12B.24C.22D.32答案:B解析:建立坐标系如图,则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),O12,12,1.∴𝐴𝐵=(0,1,0),𝐴𝐷1=(-1,0,1).设n=(1,y,z)是平面ABC1D1的一个法向量,则𝐴𝐵·𝑛=𝑦=0,𝐴𝐷1·𝑛=-1+𝑧=0,解得y=0,z=1,∴n=(1,0,1).又𝑂𝐴=12,-12,-1,∴点O到平面ABC1D1的距离为|𝑂𝐴·𝑛||𝑛|=122=24.4.Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=95,则点P到斜边AB的距离是.答案:3解析:以点C为坐标原点,CA,CB,CP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A(4,0,0),B(0,3,0),P0,0,95,所以𝐴𝐵=(-4,3,0),𝐴𝑃=-4,0,95,所以点P到AB的距离d=|𝐴𝑃|2-|𝐴𝑃·𝐴𝐵||𝐴𝐵|2=16+8125-25625=3.5.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为.答案:32解析:如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.则D(0,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M1,1,12,A(1,0,0),∴𝐴𝑀=0,1,12,𝐴𝐶=(-1,1,0),𝐴𝐷1=(-1,0,1)