行列式的计算方法-计算行列式的格式

1行列式的计算方法摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,行列式的计算是一个重要的问题。本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。关键词：行列式矩阵降阶TheMethodsofDeterminantCalculationAbstract：Solvingmultiplelinearequationsisthemaincontentofthelinearalgebra,determinantsproducedinsolvinglinearequations,determinantcalculationisanimportantissue.Thisarticleisbasedonthecomplexitydegreeofthedeterminant,andthecharacteristicsoflettersandnumbersofthedeterminant,andthengivesseveralcommonlyusedmethodstocalculatethedeterminant:directcalculationusingthedefinitionofdeterminant,intothetriangle,reductionmethod,edgingmethod,recursion,andsummarizesseveralrelativelysimpleandspecificmethods:matrix,linearseparationfactormethod,toborrowthethirdpartymethod,usingVandermondedeterminantmethod,usingLaplacetheorem,alsoanalyzethesemethodsindetail,andsupportedbyexamples.Keywords:determinantmatrixreduction.1．引言线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,然而它除了用于研究线性方程组、矩阵、特征多项式等代数问题外,还在各种工程领域有着广泛的应用,是一种不可缺少的运算工具，所以说行列式的计算是一个重要的问题。2二阶行列式：22211211aaaa21121211aaaa⑴三阶行列式：332112322311312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa⑵由此可以看出二阶、三阶行列式计算结果的一些规律：○1⑵中每项都是三个数的乘积，并由行标与列标可以看出，这三个数分别取自行列式的不同行与不同列；○2⑵式正好有6项，它恰好是1，2，3全排列的个数。○3每项321321,,jjjaaa前面的符号为)(321)1(jjj，其中)(321jjj为321jjj的逆序数。这就是比较简单的采用对角线的方法计算行列式。在行列式的定义中，虽然计算结果的每一项是n个元素的乘积，但是由于这n个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中的n个元素(譬如),11211naaa来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素，而n级行列式一共有!n项，计算它就需要做)1(!nn个乘法。当n较大时，!n是一个相当大的数字，直接从定义采用对角线法计算行列式几乎是不可能的事，[1]本文依据行列式元素间的规律和行列式的性质总结了计算行列式几种常用和特殊的方法。2.计算行列式的常用方法2.1利用行列式的定义直接计算根据行列式的定义nD=nnnjjjnjjjjjjaaa21121221)()1(，可以利用行列式的定义直接计算低阶稀疏行列式。例1.利用行列式的定义计算n阶行列式3nD=000100002000010nn解：根据行列式的定义，行列式展开后等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积，通过观察可知nD的展开式中只有一个非零项!)1(12nnn，这一项行标排列具有自然顺序排列，对应的列标排列为123n，其逆序数为1n,故!)1(1nDnn当行列式的元素中有较多0时，可以利用定义法进行计算，但如果元素中出现较多非0元素时，这种方法就不易求解。2.2利用化为三角形的方法计算利用行列式的性质把行列式通过一系列的变换转化成位于主对角线一侧的元素全为零的行列式,这样得到的行列式的值就等于主对角线上所有元素的乘积。而对于非零元素位于次对角线的情形,行列式的值等于2)1()1(nn与次对角线上所有元素的乘积。例2利用上三角形法计算n阶行列式nnnnnnxxxxD321332132213211解：nnnxxxxxxxD000000131213211100101010011133221121nnnxxxxxxx410000100001013322121nnniiinxxxxxxxniiinnxxxx12111)1(在例2中，行列式的每一行对应元素中包含有相同的元素，这样使用化三角形法较为简便，但当行列式的元素不相同且无规律时，计算量就会增加不少，此时这种方法并不简单。2.3利用降阶法计算行列式在计算行列式的时候可以根据行列式元素间的规律，依据行列式的性质或行列式按行（列）展开定理，将一个n阶行列式化为n个1n阶行列式来计算。若再继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶然后一直化为多个2阶行列式来计算。例3.利用降阶法计算n阶行列式nDabbababa000000000000解：依据行列式按行（列）展开的定理，将nD按第一行展开，即得：aDnabaaba0000000000babbaab0000000000banabbaab0000000000然后将后面的行列式按第一列展开，即得5bbaDnn(-1)nbabbab0000000000nnnba1)1(值得注意的是，根据行列式的性质利用降阶法时，应该将某行（列）元素尽可能多地变成零，之后再按行（列）展开，这样计算才能体现出降阶法计算行列式的简便性，但是针对一些构造特殊的行列式，因为n阶行列式nD的第i行构成的k级子式有knC个，故一般行列式只是能降阶而不能减少其计算量，这种方法往往无效。[2]利用降阶法可以计算行列式，那是不是也可以通过加边使其变成一个相等的1n阶行列式呢？2.4镶边法一个n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211，如果naaa11211或12111naaa中除了11a外其余元素全为0，那么该行列式便可利用行列式按行（列）展开定理将其转化为一个计算1n阶行列式。反过来，也可以利用相同的方法把一个n阶行列式转化为一个与之相等的1n阶行列式，这就是镶边法。2.4.1镶边法解题步骤○1通过加边（列）的方法把一个n级行列式转化为一个与之相等的1n阶行列式；○2根据行列式的性质把添加进去的行（列）的适当的倍数加到其它行（列）使其它行（列）出现更多的0元素后再进行计算。2.4.2镶边的一般方式○1首行首列○2首行末列○3末行首列○4末行末列。[3]当然也可以添加在行列式任意某一行与某一列的位置，但是等价变形后，总变成上述四种情况之一。例4利用镶边法计算n阶行列式6)0(2121221211nnnnnnyyyyxxxxyxxxxyxD解：nnnnnnyxxxxyxxxxyxxxxD21221211210001nnyyyxxx00100100112121nnnnyyyxxxyxyx0000000001212111)1(1121nnnyxyxyyy2.5递推法递推法就是利用行列式元素间的规律，在n阶与1n阶（或更低阶）行列式之间建立递推关系，再利用所得的关系式计算行列式的值。递推法主要是降阶递推法，常见的有两种类型：1.1nnLDD型；这时根据递推关系可推出关系式11DLDnn2.)0,2(21qnqDpDDnnn型；这时可设、是方程02qpxx的根，则由根与系数的关系可得qp,，于是有：nD-)(211nnnDDD(Ⅰ))(211nnnnDDDD(Ⅱ)7若，则由（Ⅰ）和（Ⅱ）得)()(121121DDDDDnnn注意又由（Ⅰ）和（Ⅱ）递推可得)(1221DDDDnnn)(1221DDDDnnn若，则（Ⅰ）和（Ⅱ）可变成)(211nnnnDDDD，即)(1221DDDDnnn，故)(1221DDDDnnn=)())((1221232DDDDDnnn=)(212222DDDnn=)(2))((12212432DDDDDnnn=)(312233DDDnn=……以此类推，最后可得：)()1(12211DDnDDnnn例5利用递推法计算n阶行列式nD=2100012000002100012100012解：由于212nnnDDD，则不妨设、是方程0122xx的根，则：1。于是2112211)1()2()(1)1(1DnDnDDnDDnnn其中：3142112,221DD；8所以：1324)1()2(21nnnDnDnDn即原式1n上面介绍的几种计算行列式的方法都是比较常用的，同时通过上面的例题分析和解题过程可以发现，上述几种计算方法只是适用一些行列式较为简单和行列式元素间具有明显规律的情况，而对于一些比较特殊或行列式元素间的关系隐藏较深的行列式，就要通过其它的途径来解决问题，下面给出几种计算行列式的特殊方法。3．计算行列式的几种特殊方法3．1矩阵法如果一个行列式的对应矩阵可以转化为两个矩阵的乘积，而且这两个矩阵所对应的行列式都比较容易计算，即可利用公式AB=AB计算出n阶行列式的值。[4]例6利用矩阵法计算n阶行列式nnnnnnnnnnnnnnnnnbabababababababaD1111111111111111解：该行列式的第i行第j列元素可化为121211221),,,,1(111njjjniiinjnijijinjnibbbaaabababaaaba所以该行列式可转化为两个矩阵乘积的行列式，即11312112232221321113233122221121111111111nnnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbbbbaaaaaaaaaaaaD9=121323312222112111111nnnnnnnaaaaaaaaaaaa113121122322213211111nnnnnnnbbbbbbbbbbbb=))(()()(111ijnjiijinjinjijijbbaabbaa