简支梁的相关计算

首页教学队伍教学内容教学方法实践教学教学效果教科研成果课程特色第十章弯曲梁的设计第一节梁平面弯曲的概念和弯曲内力一、弯曲的概念工程实际中，存在大量的受弯曲杆件，如火车轮轴，桥式起重机大梁。如图10.1.1，图10.1.2所示，这类杆件受力的共同特点是外力（横向力）与杆轴线相垂直，变形时杆轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件称为梁。图10.1.1火车轮轴图10.1.2起重机大梁工程中常见的梁，其横截面通常都有一个纵向对称轴，该对称轴与梁的轴线组成梁纵向对称面。如图10.1.3所示。图10.1.3梁的纵向对称如果梁上所有的外力都作用于梁的纵向对称平面内，则变形后的轴线将在纵向对称平面内变成一条平面曲线。这种弯曲称为平面弯曲。平面弯曲是弯曲问题中最基本、最常见的，所以，这里只讨论平面弯曲问题。二、梁的计算简图及基本形式梁上的荷载和支承情况比较复杂，为便与分析和计算，在保证足够精度的前提下，需要对梁进行力学简化。(一)、梁的简化为了绘图的方便，首先对梁本身进行简化，通常用梁的轴线来代替实际的梁。（二）、荷载分类作用在梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型：1、集中荷载当载荷的作用范围和梁的长度相比较是很小时，可以简化为作用于一点的力，称为集中荷载或集中力。如车刀所受的切削力便可视为集中力P，如图10.1.4（a）所示，其单位为牛（N）或千牛（kN）。2、集中力偶当梁的某一小段内（其长度远远小于梁的长度）受到力偶的作用，可简化为作用在某一截面上的力偶，称为集中力偶。如图10.1.4（b）所示。它的单位为牛·米（N·m）或千牛·米（kN·m）。3、均布载荷沿梁的长度均匀分布的载荷，称为均布载荷。分布载荷的大小用载荷集度q表示，均布集度q为常数。如图10.1.4（c）所示。其单位为牛／米（N／m）或千牛／米（k／m）。（三）、梁的基本形式按照支座对梁的约束情况，通常将支座简化为以下三种形式：固定铰链支座、活动铰链支座和固定端支座。这三种支座的约束情况和支反力已在静力学中讨论过，这里不再重复。根据梁的支承情况，一般可把梁简化为以下三种基本形式。1、简支梁梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动饺链支座的梁称为简支梁。如图10.1.5（a）。2、外伸梁外伸梁的支座与简支梁一样，不同点是梁的一端或两端伸出支座以外，所以称为外伸梁。如图10.1.5（b）3、悬臂梁一端固定，另一端自由的梁称为悬臂梁。如图10.1.5（c）图10.1.4载荷类图10.1.5梁的类以上三种梁的未知约束反力最多只有三个，应用静力平衡条件就可以确定这三种形式梁的内力。三、梁弯曲时的内力——剪力和弯矩计算作用于梁上的外力以及支承对梁的约束力都是梁的外载荷。支承对梁所产生的约束反力一般都由静力平衡条件求得。在外载荷的作用下，梁要产生弯曲变形，梁的各横截面内就必定存在相应的内力。求解梁横截面上内力的方法是截面法。图10.1.6截面法求梁的内如图10.1.6所示的简支梁，受集中力1P和2P作用。为了求出距A端支座为x处横截面m-m上的内力，首先按静力学中的平衡方程求出支座反力RA、RB。然后用截面法沿m-m截面假想地把梁截开，并以左边部分为研究对象（图10.1.6(b)）。因为原来梁处于平衡状态，故左段梁在外力及截面处内力的共同作用下也应保持平衡。截面m-m上必有一个与截面相切的内力Q来代替右边部分对左边部分沿截面切线方向移动趋势所起的约束作用；又因为RA与P1对截面形心的力矩一般不能相互抵消，为保持这部分不发生转动，在横截面m-m上必有一个位于载荷平面的内力偶，其力矩为M，来代替右边部分对左边部分转动趋势所起的约束作用。由此可见，梁弯曲时，横截面上一般存在两个内力因素，其中Q称为剪力，M称为弯矩。剪力和弯矩的大小可由左段梁的平衡方程确定。由ΣFy=0得01QPRA1PRQA由ΣMC=0得0)(1axPxRMA)(1axpxRMA式中，C为横截面的形心。若取右段梁研究，根据作用力与反作用力定律，在m-m截面上也必然有剪力Q和弯矩M，并且它们分别与Q和M数值相等、方向相反。剪力和弯矩的正负按梁的变形来确定。凡使所取梁段具有作顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负。如图10.1.7所示。凡使梁段产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负。如图10.1.8所示。图10.1.7剪力的符图10.1.8弯矩的综上所述，可得求剪力、弯矩大小和方向的规则：对于剪力：梁内任一横截面上的剪力等于该截面一侧梁上所有横向外力的代数和；正负号由“外力左上右下，产生的剪力为正”确定。对于弯矩：梁内任一横截面上的弯矩等于该截面一侧梁上所有外力对截面形心力矩的代数和。正负号由“外力矩左顺右逆，产生的弯矩为正”确定。利用上述规则，可以直接根据截面左侧或右侧梁上的外力求出指定截面的剪力和弯矩。例10.1.1简支梁受集中力kNp1，力偶mkNm1，均布载荷mkNq/4，如图10.1.9所示，试求Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ截面上的剪力和弯矩。图10.1.9简支梁解：（1）求支座反力。,0)(FMB即02505.01000750qmRPA可得NRA250,0yF即05.0BARqPR可得NRB2750（2）计算剪力和弯矩（应取简单的一侧为研究对象）。Ⅰ-ⅠNRQA2501mNRMA502.02502001Ⅱ-ⅡkNRqQB5.175.24.044.02mNqRMB7802.04.01041040027502004.0400332例10.1.2图10.1.10（a）是薄板轧机的示意图。下轧辊尺寸表示在图10.1.10（b）中轧制力约为kN410,并假定均匀分布在轧辊的CD的范围内。试求轧辊中央截面上的弯矩及截面C的剪力。图10.1.10剪板机电解：轧辊可简化为如图10.1.10（c）所示形式。轧制力均匀分布于长度为0.8m的范围内，故轧制力的载荷集度为mkNmkNq/105.12/8.01034由于梁上的载荷与约束反力对跨度中点是对称的，所以容易求出两段的约束反力为kNFFBA34105210以截面C左侧为研究对象，求得该截面上的剪力为kNFFasc34105210的外力为AF和一部分均布载荷。以中点截面左侧为研究对象，在跨度中点截面左侧求得弯矩为四、剪力图和弯矩图在一般情况下，剪力和弯矩是随着截面的位置不同而变化的。如果取梁的轴线为x轴，以坐标x表示横截面的位置，则剪力和弯矩可表示为x的函数，即mkNqFMA.315024.04.083.0)(xQQ)(xMM上述两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，故分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。为了能一目了然地看出梁各截面上的剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况，在设计计算中常把各截面上的剪力和弯矩用图形表示。即取一平行于梁轴线的横坐标x来表示横截面的位置，以纵坐标表示各对应横截面上的剪力和弯矩，画出剪力和弯矩与x的函数曲线。这样得出的图形叫做梁的剪力图和弯矩图。利用剪力图和弯矩图，很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，以及梁的危险截面的位置。所以画剪力图和弯矩图往往是梁的强度和刚度计算中的重要步骤。剪力图和弯矩图的画法是首先求出梁的支座反力，然后以力和力偶的作用点为分界点，将梁分为几段，分段列出剪力和弯矩方程。取横坐标x表示截面的位置；纵坐标表示各截面的剪力和弯矩，按方程绘图。下面通过分析例题说明剪力图和弯矩图的绘制方法及步骤例10.1.3如图10.1.11（a）所示起重机横梁长l，起吊重量为P。不计梁的自重，试绘制图示位置横梁的剪力图和弯矩图，并指出最大剪力和最大弯矩所在的截面位置。图10.1.11简支梁受集中力解（1）绘制横梁的计算简图根据横梁两端A、B轮的实际支承情况，将其简化为简支梁（图10.1.11（a）。起吊重量为P可简化为作用于沿横梁行走的小车两轮中点所对应的梁的梁截面C处的集中力。（2）计算A、B两端的支座的约束反力根据静力平衡方程得lPbRA，lPaRB（3）建立剪力方程和弯矩方程由于截面C有集中力p作用，梁AC端和BC段上任意截面左段研究对象的平衡方程不同，故应分别建立两段的剪力方程和弯矩方程。设AC段和BC段的任一截面位置分别用x表示（图10.1.11（a）），并以左段为研究对象计算剪力和弯矩，则方程为AC段lPbRQA1，ax0xlPbxxRMA1，ax0BC段lPaRQB2，lxalxlPaxlRMB)()(2，lxa（4）绘制剪力图和弯矩图由AC段和BC段剪力方程可知，两段的剪力分别为一正一负的常数，故剪力图是分别位于x轴上方和下方的两条平行线（图10.1.11(b)）。由两段的弯矩方程可知，弯矩图为两条斜直线，由边界条件可得出斜直线上两点的坐标值：AC段10x，01M；1xa，lPabM1BC段2xa，lPabM2；2xl，02M于是便得到如图10.1.11(c)所示的横梁的弯矩图。（5）确定剪力和弯矩的最大值由图10.1.11c，结合剪力方程，可以看出，当ba时，BC段各截面的剪力值最大；当ba时，AC段各截面的剪力值最大。小车行驶时，力P作用点的坐标发生变化，最大剪力值也随之发生变化。小车接近支座B点或A点时，剪力达到最大值PPQmax。由图10.1.11c，结合弯矩方程，可以分析得出，集中力F作用的C点所在截面处有最大弯矩。当小车位于梁的中点时，即2lba处，因乘积ab最大，所以最大弯矩值也最大，为4maxPlM例10.1.4如图10.1.12（a）所示简支梁，在全梁上受集度q的均布载荷。试作此梁的剪力图和弯矩图。解：1）求支座反力。由0AM及0BM得2qlFFByAy2）列剪力方程和弯矩方程。取A为坐标轴原点，并在截面x处切开取左段为研究对象，如图10.1.12（b）所示，则)0(2lxqxqlqxFFAyS(10.1.1)图10.1.12简支梁受均布)0(22222lxqxqlxqxxFMAy(10.1.2)3）画剪力图。式（10.1.1）表明，剪力FS是x的一次函数，所以剪力图是一条斜直线2,0qlFxS2,qlFlxS4）画弯矩图。式（10.1.2）表明，弯矩M是x的二次函数，弯矩图是一条抛物线。由方程8)2(2)(222)(2222qllxqxlxqqxqlxxM既曲线顶点为（8,22qll），开口向下，可按下列对应值确定几点。x04l2l43llM03232ql82ql3232ql0剪力图与弯矩图分别如图10.1.12（c）、(d)所示。由图可知，剪力最大值在两支座A、B内侧的横截面上，2maxqlFS。弯矩的最大值在梁的中点，82maxqlM。例10.1.5如图10.1.13（a）所示简支梁，在C点处受大小为Me的集中力偶作用。试作其剪力图和弯矩图。解：1）求支反力。,0,0eAyBMlFM得：lMFeAy图10.1.13简支梁受集中力偶00AyByyFFFlMFFeAyBy2）列出剪力方程和弯矩方程。)0()(lxlMFxFeAyS因C点处有集中力偶，故弯矩需分段考虑。AC段)0()(axxlMxFxMeAyBC段)0()()()(lxxllMxlFxMeBy3）画剪力图。由剪力方程知，剪力为常数，故是一水平直线，如图10.1.13（b）所示。4）画弯矩图。由弯矩方程知，C截面左右段均为斜直线。AC段laMMaxMxe,;0,0BC段0,,,MlxlbMMaxe弯矩图如图10.1.13（c）所示。如ab,则最大弯矩发生在集中力偶作用处右侧横截面上，lbMMemax。分析以上几例即可得出剪力图和弯矩图规律：1．梁上没有分布载荷时，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。斜率为对应的剪力图的值，剪力为正时，弯矩图向上倾斜（/）；剪力为负时，