第七节 旋转体的体积计算

第七节旋转体的体积计算•内容提要1.旋转体的体积；2.平行截面面积为已知的立体的体积.教学要求熟练掌握应用元素法求体积的方法。旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台1.旋转体的体积一般地，如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？],[bax在],[ba上任取小区间],[dxxx，取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，dxxfdV2)]([xdxxxyo旋转体的体积为dxxfVba2)]([)(xfybadxy2取积分变量为x类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为xyo)(yxcddyy2)]([dcVdcdyx2例1.求由曲线,直线x=1及x轴所围成的平面图形xy解102)(dxxVx绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.10xdx1022xxyoyx由旋转体的体积公式,得如图,选x为积分变量2例2.求由曲线,直线y=1及y轴所围成的图形yx42解20222)4(21dxxVx分别绕x轴,y轴旋转一周所生成的旋转体的体积.204162dyx绕x轴旋转体的体积,如图,选x为积分变量xy42oyx1)1,2(2055162x58绕y轴旋转体的体积,选y为积分变量102)4(dyyVy104ydy10224y2求星形线绕x轴旋转构成旋转体的体积.解,323232xay332322xay],[aax由旋转体的体积公式，知：dxxfVaa2)]([.105323adxxaaa33232)0(323232aayxyxo-aad4例4求圆)0()(222baayax绕y轴旋转一周所成的旋转体（环体）的体积例5yxOa-aCDAbByAMdsdx体积微元解dyyxdyyxdV2221)]([)]([右半圆弧方程为221)(yabyxx左半圆弧方程为222)(yabyxxdyyabyabaa])()[(222222aadyyab224dyyaba0228222badyxxVaa)(2221环体体积为dyyxyx)]()([22212.平行截面面积为已知的立体的体积设一立体位于过点x=a,x=b且垂直于x轴的两平面之间，,)(dxxA.)(badxxAV从而用垂直于x轴的任一平面截此立体所得的截面积A(x)是x的已知函数，)(xAx取x为积分变量，在区间[a,b]上任取一小区间过其端点作垂直x轴的平面，)(xAxx+dx作体积微元：)(xAxx+dxxoaby.V求这个立体的体积dV体积微元为[x,x+dx]，以A(x)为底，dx为高作柱体，用微元法：xoy一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解取坐标系如图底半圆方程为22xRy截面面积)(xA立体体积V.tan323R垂直于x轴的截面为直角三角形222RyxRRtan)(2122xRtan21yydxxRRRtan)(2122RRdxxA)(例6xdxxxyo)(xfydxxfVba2)]([badxy2xyo)(yxcddyy2)]([dcVdcdyx2小结作业:P118.1(1)(3)，2.,12222积轴旋转所成旋转体的体绕求由椭圆xbyax解)(22222xaaby上半椭圆的方程为：dxyVaa2由公式知：dxxaabaa)(2222.342ab.34)(22222badyybbaVybb体积为轴旋转所成的旋转体的同理得椭圆绕练习求摆线的一拱与0=y所围成的x轴旋转构成旋转体的体积.解绕x轴旋转的旋转体体积dxyVax2202022)cos1()cos1(dttata20323)coscos3cos31(dtttta.532aoyxa22022)]sin([)cos1(ttadta)cos1()sin(tayttax图形绕练习oxy所围成的图形为底，及求以抛物线042yxy.2的矩形的立体的体积轴的所有截面均是高为直于y而垂解设截面面积为)(yA)(yA242yy44dyy4044364V练习